Игра "Эстафета". Выполни действия и определи, какая из полученных дробей меньше? Почему?

Для решения задачи, в которой требуется определить, какая из двух дробей меньше, необходимо понимать основные операции с дробями, их свойства и правила сравнения.

Операции с дробями:

1. Сложение дробей:

   • Если дроби имеют одинаковый знаменатель, то числители складываются, а знаменатель остается неизменным. Пример: $ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n} $.
   • Если дроби имеют разные знаменатели, то сначала находят общий знаменатель. Это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Затем приводят дроби к общему знаменателю и проводят сложение. Пример: $ \frac{a}{m} + \frac{b}{n} = \frac{a \cdot n + b \cdot m}{m \cdot n} $, если $ m $ и $ n $ — взаимно простые.

2. Вычитание дробей:

   • Для дробей с одинаковым знаменателем числители вычитаются, а знаменатель остается неизменным. Пример: $ \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n} $.
   • Если знаменатели разные, как и в случае сложения, находят общий знаменатель, приводят дроби к нему и выполняют вычитание.

3. Умножение дробей:

   • Для умножения дробей числители перемножаются, а знаменатели перемножаются. Пример: $ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $.

4. Деление дробей:

   • Деление одной дроби на другую выполняется умножением первой дроби на обратную ко второй дробь (переворачивают числитель и знаменатель второй дроби). Пример: $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $.

Сравнение дробей:

Для определения, какая дробь меньше, нужно привести их к общему знаменателю или преобразовать в десятичные дроби.

1. Приведение дробей к общему знаменателю:

   • Находим НОК знаменателей дробей.
   • Приводим дроби к общему знаменателю, изменяя числители пропорционально.
   • Сравниваем полученные числители. Дробь с меньшим числителем будет меньше.

2. Сравнение десятичных эквивалентов дробей:

   • Выполняем деление числителя на знаменатель для каждой дроби.
   • Сравниваем полученные десятичные числа.

3. Простой случай с одинаковыми знаменателями:

   • Если знаменатели дробей одинаковы, достаточно сравнить числители. Дробь с меньшим числителем меньше.

Пример алгоритма решения задачи:

1. Выполняем все математические операции по порядку, как указано на схеме.

   • Последовательно используем правила сложения, вычитания, умножения дробей.
   • Убедимся, что все промежуточные вычисления выполнены верно.

2. После выполнения всех действий получаем две дроби: одну — для верхней дорожки эстафеты, другую — для нижней.

3. Сравниваем полученные дроби, используя один из вышеописанных методов (приведение к общему знаменателю или сравнение десятичных эквивалентов).

4. Делаем вывод о том, какая дробь меньше, обосновывая это с точки зрения математических свойств дробей.

Почему одна дробь может быть меньше другой:

• Если числители дробей равны, меньшей будет дробь с большим знаменателем, так как каждая единица дроби делится на большее количество частей.
• Если знаменатели равны, меньшей будет дробь с меньшим числителем, так как дробь содержит меньшее количество частей из общего числа.

Этот теоретический подход поможет решить задачу корректно, уделяя внимание каждому шагу вычислений и сравнений.