Запиши с помощью фигурных скобок множество натуральных решений неравенства:
$\frac{1}{6} ≤ \frac{a}{6} - \frac{2}{6} < \frac{4}{6}$.
Придумай другое неравенство, имеющее то же самое множество решений.

Для решения данной задачи вспомним основные теоретические аспекты работы с неравенствами, дробями и множествами.

Теоретическая часть

1. Свойства дробей

Дробь $\frac{a}{b}$ представляет собой деление $a$ на $b$. Здесь:
− $a$ — числитель дроби;
− $b$ — знаменатель дроби (не равен нулю).

Работа с дробями включает такие операции, как приведение к общему знаменателю, сложение, вычитание и сравнение дробей.

Если дроби имеют одинаковый знаменатель, то их сравнение сводится к сравнению числителей. Например:
$$ \frac{p}{q} \leq \frac{r}{q} \quad \text{равносильно} \quad p \leq r \quad (\text{при } q > 0). $$

2. Работа с неравенствами

Общие свойства неравенств:
− Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число не меняет его знак.
− Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число меняет его знак на противоположный.
− Если одно значение больше другого, то их разность положительна, и наоборот.

3. Решение сложных неравенств

Неравенства, содержащие дроби, часто решают с использованием преобразований:
− Приводят дроби к одинаковому знаменателю.
− Выполняют необходимые арифметические действия (сложение, вычитание).
− Упрощают неравенство, решая его относительно переменной.

В неравенстве с двумя знаками (например, $c \leq x < d$) решают оба неравенства одновременно:
− $c \leq x$;
− $x < d$.

4. Натуральные числа

Натуральные числа — это числа, используемые при счете, начиная с 1: $1, 2, 3, \dots$. В контексте данной задачи нам нужны только натуральные решения, то есть значения переменной $a$, которые принадлежат множеству натуральных чисел.

5. Множества и их запись

Множества можно записывать разными способами:
− В виде перечисления элементов, например, $\{1, 2, 3\}$.
− С использованием условия, например, $\{x \mid x \text{ — натуральное число, и } 1 \leq x < 5\}$.

6. Пример решения линейного неравенства

Рассмотрим общее линейное неравенство:
$$ \frac{p}{q} \leq \frac{ax + b}{q} < \frac{r}{q}, $$
где $q > 0$ — общий знаменатель.

Пошаговое решение:
1. Приводим дроби к одному знаменателю (если знаменатели разные).
2. Умножаем обе части неравенства на общий знаменатель $q$ (положительное число, знак неравенства сохраняется).
3. Решаем два простых неравенства:
− $p \leq ax + b$,
− $ax + b < r$.
4. Находим промежуток, куда входит $x$, и выбираем только натуральные числа, попадающие в этот промежуток.

7. Множество решений

После упрощения и нахождения диапазона $x$, записываем множество натуральных решений. Например:
− Если $1 \leq x < 5$, то натуральные решения — $x = 1, 2, 3, 4$, и множество решений можно записать как $\{1, 2, 3, 4\}$.

8. Придумывание нового неравенства

Если дано множество решений, можно придумать другое неравенство с тем же множеством решений, сохранив диапазон, в который попадают натуральные числа. Например, если решения — $\{1, 2, 3\}$, то возможны такие эквивалентные неравенства:
$$ x + 1 \leq 4, \quad 0 < x < 4, \quad \text{и т.д.} $$