а) Составь все возможные равенства из чисел
$\frac{3}{25}, \frac{16}{25}, \frac{19}{25}$.
б) Составь выражения, значения которых равно $\frac{12}{17}$.

Для решения задачи важно понимать основные теоретические концепты, связанные с дробями и их равенствами, а также действиями с дробями. Рассмотрим их детально:

Понятие дроби и равенства дробей:

1. Что такое дробь?
   Дробь — это число, которое представляет отношение одной величины (числителя) к другой (знаменателю). Она записывается в виде $\frac{a}{b}$, где:

   • $a$ — числитель дроби;
   • $b$ — знаменатель дроби.

2. Равенство дробей:
   Две дроби считаются равными, если пропорция между их числителями и знаменателями одинаковая. Математически это можно записать так:
   $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c. $$

3. Сравнение дробей:
   Чтобы сравнить дроби, можно привести их к общему знаменателю или использовать перекрестное умножение.

Решение пункта (а): составление равенств из данных дробей.

Здесь задача состоит в том, чтобы определить, какие из данных дробей $\frac{3}{25}, \frac{16}{25}, \frac{19}{25}$ можно считать равными. Для этого нужно:

1. Проверить знаменатели:
   Все дроби имеют одинаковый знаменатель ($25$), что упрощает задачу, так как равенство дробей сводится к сравнению числителей.

2. Сравнение числителей:
   У данных дробей числители — $3, 16, 19$. Поскольку все три числа различны, ни одна из дробей не равна другой. Однако можно составить все возможные равенства, проверяя, какое число больше или меньше другого:

   • $\frac{3}{25} < \frac{16}{25}$;
   • $\frac{16}{25} < \frac{19}{25}$;
   • $\frac{3}{25} < \frac{19}{25}$.

Таким образом, задача сводится к составлению всех возможных выражений, показывающих отношение данных дробей друг к другу.

Теория для пункта (б): составление выражений, равных заданной дроби ($\frac{12}{17}$).

Для поиска выражений, равных данной дроби, полезно использовать следующие свойства дробей:

1. Равенство дробей через умножение числителя и знаменателя на одно и то же число:
   Если дробь $\frac{a}{b}$ умножить числитель и знаменатель на одно и то же число $k$, то получится дробь, равная исходной:
   $$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}. $$
   Например:
   $$ \frac{12}{17} = \frac{12 \cdot 2}{17 \cdot 2} = \frac{24}{34}. $$

2. Сложение или вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
   Если знаменатели двух дробей одинаковы, то можно сложить или вычесть дроби, чтобы получить выражение, равное исходной дроби. Например, если $\frac{12}{17}$ можно разложить на две дроби:
   $$ \frac{12}{17} = \frac{5}{17} + \frac{7}{17}. $$

3. Приведение дроби к её эквивалентной форме:
   Иногда можно разложить дробь на сумму или разность двух дробей, чтобы создать выражения, равные данной дроби.

4. Умножение на единицу в виде дроби:
   Умножение дроби на дробь, равную единице ($\frac{k}{k}$), не изменяет её значения:
   $$ \frac{12}{17} \cdot \frac{3}{3} = \frac{36}{51}. $$

Что нужно сделать для пункта (б):

• Использовать правила преобразования дробей, чтобы составить различные выражения, равные $\frac{12}{17}$.
• Например, умножить числитель и знаменатель на одно и то же число или разложить дробь на сумму двух дробей.

Эти теоретические аспекты помогут в решении задачи!