а) Бочонок был заполнен медом на $\frac{7}{9}$. Винни−Пух съел за ужином $\frac{5}{9}$ бочонка меда. Какая часть бочонка осталась заполнена медом?
б) За 3 дня турист прошел $\frac{11}{12}$ пути. В первый день он прошел $\frac{4}{12}$ пути, а во второй день − $\frac{3}{12}$ пути. Какую часть пути прошел турист за третий день?

Для решения задач, связанных с дробями, важно понимать основные принципы работы с ними, такие как сложение, вычитание, сравнение и приведение к общему знаменателю. Разберем необходимые теоретические аспекты для решения данных задач.

Часть 1. Основные понятия о дробях

1. Что такое дробь? Дробь представляет собой число, которое выражает часть от целого. Она записывается в виде $\frac{a}{b}$, где:
   • $a$ — числитель дроби, показывает, сколько частей взяли.
   • $b$ — знаменатель дроби, показывает, на сколько частей разделено целое.

Например, $\frac{7}{9}$ означает, что целое разделено на 9 равных частей, из которых взято 7.

1. Равенство знаменателей
   Чтобы складывать или вычитать дроби, их знаменатели должны быть одинаковыми. Если знаменатели уже одинаковы, то операция проводится только с числителями:

   • Сложение: $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$
   • Вычитание: $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$

2. Приведение дробей к общему знаменателю
   Если знаменатели дробей разные, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей. После приведения дробей к общему знаменателю, операции проводятся с числителями.

Часть 2. Сложение и вычитание дробей

Для работы с дробями с одинаковыми знаменателями, как в задаче, важно понимать следующие правила:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно:
   • Вычесть числители дробей.
   • Сохранить знаменатель без изменения.

Формула:
$$ \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} $$

Например, $\frac{7}{9} - \frac{5}{9} = \frac{7-5}{9} = \frac{2}{9}$.

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно:
   • Сложить числители дробей.
   • Сохранить знаменатель без изменения.

Формула:
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} $$

Например, $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$.

Часть 3. Дроби и остаток

1. Остаток после вычитания
   Когда из одной дроби вычитается другая дробь, результат показывает часть, которая осталась. Это важно для задачи про мед:

   • Если бочонок был заполнен на часть $\frac{7}{9}$, а потом часть $\frac{5}{9}$ была съедена, то, чтобы найти оставшуюся часть, нужно выполнить вычитание.

2. Остаток после сложения
   В задаче про туриста нужно сложить пройденные части пути за первый и второй дни, а затем найти, сколько осталось до полного пути.

Формула остатка:
$$ \text{Часть, оставшаяся до полного пути} = \text{Полный путь (1)} - \text{Пройденная часть пути}. $$

Для дробей с одинаковыми знаменателями эта операция упрощается до вычитания числителей.

Часть 4. Проверка ответа

После проведения вычислений обязательно проверяйте результат:
− Все числители и знаменатели должны быть целыми числами.
− Дробь должна быть правильной (если числитель меньше знаменателя) или неправильной (если числитель больше знаменателя).
− Если возможно, приведите дробь к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель.

Эти теоретические аспекты помогут вам понять, как работать с дробями и выполнять операции, необходимые для решения задач.