Автобус ехал 3 ч со скоростью 54 км/ч. Оказалось, что он проехал $\frac{9}{14}$ всего пути. Сколько всего километров он должен проехать? С какой скоростью надо ехать автобусу, чтобы преодолеть оставшееся расстояние за 2 ч?

Для решения задачи важно понимать основные понятия и подходы к работе с математическими величинами, такими как скорость, время и расстояние, а также уметь использовать дроби и пропорции.

Теоретическая часть:

1. Формула пути

Основная формула для расчета пути:
$$ s = v \cdot t $$
где:
− $ s $ — путь (расстояние), который проходит объект,
− $ v $ — скорость движения,
− $ t $ — время движения.

Эта формула позволяет вычислять одну из неизвестных величин, если известны две другие. Например:
− Если нужно найти путь, то $ s = v \cdot t $,
− Если нужно найти скорость, то $ v = \frac{s}{t} $,
− Если нужно найти время, то $ t = \frac{s}{v} $.

2. Работа с дробями

Дробь $\frac{a}{b}$ показывает, какая часть целого объекта (или пути, или времени) была использована или осталась. В данной задаче известно, что автобус проехал $\frac{9}{14}$ всего пути. Это значит, что оставшаяся часть пути равна:
$$ 1 - \frac{9}{14} = \frac{5}{14}. $$
Таким образом, весь путь делится на две части:
− Проехал — $\frac{9}{14}$ пути,
− Осталось — $\frac{5}{14}$ пути.

3. Пропорции

Если известно, что определённое расстояние составляет часть всего пути, можно использовать пропорции для нахождения полного пути. Например:
$$ \text{Проеханный путь} = \frac{\text{Часть пути}}{\text{Доля этой части в общем пути}}. $$
То есть:
$$ s_{\text{весь}} = \frac{s_{\text{проехал}}}{\text{доля проеханного пути}}. $$

4. Использование данных задачи

В задаче сказано, что автобус ехал 3 часа со скоростью 54 км/ч. Это позволяет найти расстояние, которое он проехал, используя формулу пути:
$$ s_{\text{проехал}} = v \cdot t. $$
Таким образом, вычисляется расстояние, которое составляет $\frac{9}{14}$ от всего пути.

5. Нахождение оставшегося пути

После нахождения полного пути ($s_{\text{весь}}$), можно определить расстояние, которое осталось пройти:
$$ s_{\text{осталось}} = s_{\text{весь}} - s_{\text{проехал}}. $$
Или, так как известно, что оставшийся путь составляет $\frac{5}{14}$ от общего пути:
$$ s_{\text{осталось}} = s_{\text{весь}} \cdot \frac{5}{14}. $$

6. Расчет скорости для оставшегося пути

Чтобы найти скорость, с которой автобус должен ехать для преодоления оставшегося пути за 2 часа, используется формула:
$$ v = \frac{s}{t}. $$
Здесь:
− $ s $ — оставшийся путь, который нужно преодолеть,
− $ t $ — время, за которое этот путь нужно пройти.

Основные этапы решения задачи:

1. Вычислить расстояние, которое автобус проехал за первые 3 часа: $$ s_{\text{проехал}} = v \cdot t. $$
2. Использовать пропорции, чтобы найти полный путь: $$ s_{\text{весь}} = \frac{s_{\text{проехал}}}{\frac{9}{14}}. $$
3. Вычислить оставшийся путь: $$ s_{\text{осталось}} = s_{\text{весь}} \cdot \frac{5}{14}. $$
4. Найти скорость, с которой автобус должен ехать, чтобы преодолеть оставшийся путь за 2 часа: $$ v = \frac{s_{\text{осталось}}}{t}. $$

Задача требует последовательного применения формул расстояния, дробей и пропорции для нахождения всех величин.