Представь произведение в виде суммы и найди его значение:
а) $\frac{3}{20} * 4$;
б) $\frac{6}{25} * 3$;
в) $\frac{2}{100} * 6$;
г) $\frac{3}{1000} * 5$.
Можно ли быстрее выполнить умножение дроби на натуральное число?

Для решения задачи, в которой требуется найти произведение дроби и натурального числа, важно понимать основные принципы работы с дробями и умножением.

Теоретическая часть:

Дробь

Дробь — это число, представленное в виде отношения двух чисел: числителя и знаменателя. Например, дробь $\frac{3}{20}$ состоит из числителя $3$ и знаменателя $20$. Числитель показывает, сколько частей берется, а знаменатель — на сколько частей делится целое.

Умножение дроби на натуральное число

Когда дробь умножается на натуральное число, то это действие можно представить как $a \cdot b = \frac{a}{c} \cdot b$, где $a$ — числитель, $c$ — знаменатель, и $b$ — натуральное число.

Чтобы выполнить умножение дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на это натуральное число, а знаменатель остается без изменений:
$$ \frac{a}{c} \cdot b = \frac{a \cdot b}{c}. $$
После выполнения умножения числителя на натуральное число, полученную дробь можно упростить, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.

Представление произведения в виде суммы

Умножение можно представить как повторение одного и того же числа заданное количество раз. Например:
$$ \frac{3}{20} \cdot 4 = \frac{3}{20} + \frac{3}{20} + \frac{3}{20} + \frac{3}{20}. $$
Здесь дробь $\frac{3}{20}$ складывается 4 раза.

Упрощение процесса

Для экономии времени при вычислениях умножение дроби на натуральное число выполняется напрямую по правилу:
$$ \frac{a}{c} \cdot b = \frac{a \cdot b}{c}. $$
Затем, если требуется, результат можно преобразовать в десятичную дробь или целое число, если знаменатель делится на числитель без остатка.

Ответ на вопрос: можно ли быстрее выполнить умножение дроби на натуральное число?

Да, процесс можно выполнить быстрее, если сразу следовать правилу умножения числителя на натуральное число, чтобы избежать повторного сложения дробей. Но в некоторых случаях представление умножения в виде суммы может быть полезным для общего понимания задачи.

Пример теоретического вывода для данного случая:

Возьмите дробь $\frac{3}{20}$ и умножьте её на $4$. Сначала умножьте числитель ($3$) на натуральное число ($4$):
$$ 3 \cdot 4 = 12. $$
Затем оставьте знаменатель ($20$) неизменным:
$$ \frac{3}{20} \cdot 4 = \frac{12}{20}. $$
Теперь можно сократить дробь, если числитель и знаменатель имеют общий делитель:
$$ \frac{12}{20} = \frac{3}{5}. $$
Так процесс становится гораздо быстрее, чем сложение $\frac{3}{20}$ четырёх раз.