а) Что больше:
$\frac{3}{9}$ или $\frac{8}{9}$?
Как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями?
б) Что больше:
3 : 9 или 8 : 9?
Как изменяется частное с увеличением делимого? Похожа ли эта задача на предыдущую? Почему?

Чтобы решить задачу, давайте подробно разберем теоретическую часть, которая используется для сравнения дробей и частных.

Теоретическая часть:

Дроби с одинаковыми знаменателями:

1. Что такое дробь?
   Дробь — это число, которое записано в виде отношения двух чисел. Оно состоит из числителя (верхняя часть дроби) и знаменателя (нижняя часть дроби). Например, в дроби $\frac{3}{9}$, числитель равен $3$, а знаменатель — $9$.

2. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями:
   Если дроби имеют одинаковые знаменатели, то их можно сравнивать, просто сравнив числители. Дробь с большим числителем будет больше. Например:

   • Если есть две дроби, $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$, и $a > b$, то $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
   • Это связано с тем, что дробь указывает, какую часть целого представляет числитель по отношению к знаменателю. Если знаменатели одинаковы, то мы сравниваем, какой числитель больше.

3. Пример:
   Две дроби $\frac{3}{9}$ и $\frac{8}{9}$ имеют одинаковый знаменатель ($9$). Чтобы определить, какая дробь больше, нужно сравнить числители:

   • Числители: $3$ и $8$.
   • Поскольку $8 > 3$, дробь $\frac{8}{9}$ больше дроби $\frac{3}{9}$.

Деление чисел (частное):

1. Что такое деление?
   Деление — это математическая операция, которая отвечает на вопрос: "Сколько раз одно число содержится в другом?" Если записать деление как $a : b$, то $a$ называют делимым, а $b$ — делителем. Результат деления называют частным.

2. Влияние изменения делимого на частное:
   Если делитель остаётся неизменным, то частное увеличивается, если увеличивается делимое. Это потому, что мы делим большее число на одно и то же количество частей. Например:

   • $6 : 3 = 2$,
   • $9 : 3 = 3$,
   • $12 : 3 = 4$. Здесь видно, что с увеличением делимого (6, 9, 12) частное также увеличивается (2, 3, 4).

3. Похожесть задачи с дробями:
   Деление чисел $a : b$ можно записать в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель. Например, $3 : 9$ можно представить как $\frac{3}{9}$, а $8 : 9$ — как $\frac{8}{9}$. Таким образом, сравнение двух частных, таких как $3 : 9$ и $8 : 9$, эквивалентно сравнению двух дробей, $\frac{3}{9}$ и $\frac{8}{9}$.

4. Заключение:

   • Если сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями, то нужно сравнивать числители.
   • Если сравниваем результаты деления ($a : b$ и $c : b$), то также можно сравнивать числители, так как запись деления эквивалентна записи дроби.

Итог:

Каждая из задач связана с пониманием того, как числитель (или делимое) влияет на дробь или на частное. Если знаменатели дробей одинаковы, или если делители одинаковы, то сравнение сводится к сравнению числителей (или делимых).