Запиши множество дробей $\frac{x}{y}$, где x, y ∈ N, если известно, что:
а) 3 < x ≤ 4, 6 ≤ y ≤ 8;
б) 9 < x < 12, 18 ≤ y < 20.

Для решения задачи такого типа важно понимать несколько ключевых математических понятий. Давайте рассмотрим их подробно.

Теоретические основы

1. Натуральные числа (N):
   Натуральные числа — это числа, которые используются для счёта и упорядочивания. Множество натуральных чисел обозначается символом $ \mathbb{N} $ и включает числа $ 1, 2, 3, 4, \dots $. В данной задаче указано, что $ x $ и $ y $ принадлежат множеству натуральных чисел ($ x, y \in \mathbb{N} $).

2. Дробь:
   Дробь — это выражение вида $ \frac{x}{y} $, где:

   • $ x $ — числитель дроби,
   • $ y $ — знаменатель дроби ($ y \neq 0 $).

В задаче числитель $ x $ и знаменатель $ y $ должны быть натуральными числами. Поскольку $ y $ принадлежит множеству натуральных чисел, условие $ y \neq 0 $ автоматически выполнено.

1. Условия на значения $ x $ и $ y $: В задаче заданы ограничения для $ x $ и $ y $. Эти ограничения определяют диапазон значений, которые могут принимать $ x $ и $ y $. Для каждого диапазона необходимо выделить все возможные значения $ x $ и $ y $, а затем составить дроби вида $ \frac{x}{y} $.

Например, если $ 3 < x \leq 4 $, то $ x $ — это натуральные числа из множества $ \{4\} $, поскольку $ x $ должно быть больше 3 и меньше или равно 4.

Если $ 6 \leq y \leq 8 $, то $ y $ — это натуральные числа из множества $ \{6, 7, 8\} $, поскольку $ y $ должно быть больше или равно 6 и меньше или равно 8.

1. Множество дробей:
   Чтобы записать множество дробей, нужно перебрать все возможные пары чисел $ (x, y) $, где $ x $ принадлежит своему диапазону, а $ y $ принадлежит своему диапазону. Для каждой пары составляется дробь $ \frac{x}{y} $.

2. Метод перебора:
   Метод перебора заключается в следующем:

   • Выделите все возможные значения для $ x $ и $ y $ отдельно.
   • Переберите каждую комбинацию значений $ (x, y) $.
   • Для каждой комбинации запишите дробь $ \frac{x}{y} $.

Например, если $ x = 4 $ и $ y $ принимает значения $ 6, 7, 8 $, то дроби будут $ \frac{4}{6}, \frac{4}{7}, \frac{4}{8} $.

1. Запись множества: Множество дробей записывается в фигурных скобках $ \{ \dots \} $. Каждый элемент множества — это отдельная дробь. Порядок записи дробей в множестве не имеет значения.

Применение теории к задаче

Условие (а):

• $ 3 < x \leq 4 $: Значения $ x $ — это $ \{4\} $.
• $ 6 \leq y \leq 8 $: Значения $ y $ — это $ \{6, 7, 8\} $.

Условие (б):

• $ 9 < x < 12 $: Значения $ x $ — это $ \{10, 11\} $.
• $ 18 \leq y < 20 $: Значения $ y $ — это $ \{18, 19\} $.

Теперь, зная диапазоны для $ x $ и $ y $, можно составить соответствующее множество дробей.