Найди множество натуральных решений неравенств:
а) $\frac{5}{y} < \frac{5}{7}$;
б) $\frac{x}{6} ≤ \frac{4}{6}$.

Для решения задачи необходимо использовать базовые понятия из математики, такие как свойства неравенств, деление и понятие множества натуральных чисел. Рассмотрим теоретическую часть, которая поможет в решении подобных задач.

Основные понятия:

1. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета: $ 1, 2, 3, \dots $. Натуральные числа не включают $ 0 $, дроби, отрицательные числа или любые иррациональные числа.

2. Неравенства — это математические выражения, которые показывают, что одно значение больше, меньше или равно другому значению. Существует несколько видов неравенств:

   • $ a < b $ — число $ a $ меньше числа $ b $.
   • $ a \leq b $ — число $ a $ меньше либо равно числу $ b $.
   • $ a > b $ — число $ a $ больше числа $ b $.
   • $ a \geq b $ — число $ a $ больше либо равно числу $ b $.

3. Дроби и деление:

   • Дробь $ \frac{a}{b} $ означает деление числа $ a $ на число $ b $, где $ b \neq 0 $.
   • Если $ a, b > 0 $, то дробь $ \frac{a}{b} $ всегда положительна.

4. Сравнение дробей:

   • Чтобы сравнить две дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $, можно использовать правило перекрестного умножения: $ a \cdot d $ и $ b \cdot c $. Если $ a \cdot d < b \cdot c $, то $ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} $. Аналогично, если $ a \cdot d = b \cdot c $, то дроби равны, и так далее.

5. Множество решений — это набор всех значений переменной, которые удовлетворяют заданному неравенству. В данной задаче требуется найти множество натуральных решений, то есть только те значения $ x $ и $ y $, которые являются натуральными числами.

Подход к решению:

а) $ \frac{5}{y} < \frac{5}{7} $:

1. Сравнение дробей:

   • Здесь правая дробь ($ \frac{5}{7} $) фиксирована, а переменная $ y $ находится в знаменателе левой дроби ($ \frac{5}{y} $).
   • Чем больше значение $ y $, тем меньше значение дроби $ \frac{5}{y} $.

2. Условие $ \frac{5}{y} < \frac{5}{7} $ говорит о том, что дробь $ \frac{5}{y} $ должна быть меньше $ \frac{5}{7} $.

   • Для этого можно воспользоваться свойством сравнения дробей: $ 5 \cdot 7 < 5 \cdot y $, что упрощается до $ 35 < 5y $.
   • Далее приведите неравенство к виду $ y > \frac{35}{5} $, и получите ограничение на $ y $.

3. Выбор натуральных чисел:

   • После нахождения ограничения на $ y $, необходимо выбрать только те значения $ y $, которые являются натуральными числами и удовлетворяют неравенству.

б) $ \frac{x}{6} \leq \frac{4}{6} $:

1. Сравнение дробей:

   • Здесь правая дробь ($ \frac{4}{6} $) фиксирована, а переменная $ x $ находится в числителе левой дроби ($ \frac{x}{6} $).
   • Чем больше значение $ x $, тем больше значение дроби $ \frac{x}{6} $.

2. Условие $ \frac{x}{6} \leq \frac{4}{6} $ говорит о том, что дробь $ \frac{x}{6} $ должна быть меньше либо равна $ \frac{4}{6} $.

   • Поскольку знаменатели одинаковые ($ 6 $), можно сравнивать числители: $ x \leq 4 $.
   • Таким образом, для выполнения неравенства переменная $ x $ должна быть натуральным числом, удовлетворяющим этому ограничению.

3. Выбор натуральных чисел:

   • После нахождения ограничения на $ x $, необходимо выбрать только те значения $ x $, которые являются натуральными числами и удовлетворяют неравенству.

Итог:

При решении каждого неравенства необходимо:
1. Преобразовать неравенства с дробями так, чтобы сравнение было удобным.
2. Найти ограничения на $ y $ или $ x $.
3. Выбрать только те значения $ y $ или $ x $, которые принадлежат множеству натуральных чисел.