Сравни:
$\frac{32}{65} ☐ \frac{49}{65}$;
$\frac{7}{96} ☐ \frac{7}{12}$;
$\frac{14}{23} ☐ \frac{14}{37}$;
$\frac{18}{19} ☐ \frac{16}{19}$.

Чтобы сравнить дроби, рассмотрим набор теоретических правил и подходов к сравнению дробей. Это поможет понять, как можно сравнить дроби в каждой ситуации.

1. Определение дроби
Дробь записывается в виде $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель. Числитель показывает, сколько частей взято, а знаменатель показывает, на сколько частей разделено целое.

2. Общий знаменатель
Если две дроби имеют одинаковый знаменатель, то их можно легко сравнить, просто сравнив числители.

• Если $a_1 > a_2$, то $\frac{a_1}{b} > \frac{a_2}{b}$.
• Если $a_1 < a_2$, то $\frac{a_1}{b} < \frac{a_2}{b}$.
• Если $a_1 = a_2$, то дроби равны.

Пример: $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{7}$. Здесь знаменатель одинаковый ($7$), поэтому сравниваем числители $3$ и $5$. Поскольку $5 > 3$, то $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$.

3. Разные знаменатели
Когда знаменатели дробей отличаются, нужно привести дроби к общему знаменателю или использовать свойства дробей.

Метод 1: Приведение к общему знаменателю
Находим общий знаменатель (наименьшее общее кратное знаменателей). Затем изменяем дроби, чтобы знаменатели стали одинаковыми, и сравниваем числители.

Пример: сравниваем $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$.
− Общий знаменатель равен $12$.
− Приводим дроби:
$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$,
$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$.
− Сравниваем числители $8$ и $9$. Поскольку $9 > 8$, то $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$.

Метод 2: "Перекрестное умножение"
Другой способ сравнить дроби — использовать перекрестное умножение. Умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй дроби и наоборот, затем сравниваем результаты.

Пример: сравниваем $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$.
− Умножаем $2 \cdot 4 = 8$ и $3 \cdot 3 = 9$.
− Сравниваем $8$ и $9$. Поскольку $9 > 8$, то $\frac{3}{4} > \(\frac{2}{3}$.

4. Особые случаи
Случай 1: одинаковые числители
Когда числители дробей одинаковы, сравнение проводится по знаменателям. Чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби (поскольку части делятся на большее количество).

Пример: сравним $\frac{5}{12}$ и $\frac{5}{15}$.
− Числители одинаковы ($5$).
− Сравниваем знаменатели $12$ и $15$. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь: $\frac{5}{12} > \frac{5}{15}$.

Случай 2: числители и знаменатели различны
Если числители и знаменатели различны, используем один из методов выше (приведение к общему знаменателю или перекрестное умножение).

5. Дроби равные единице (или менее/более единицы)
Если дробь равна $1$ (например, $\frac{5}{5}$), то она больше всех дробей меньше единицы ($\frac{4}{5}$) и меньше всех дробей больше единицы ($\frac{6}{5}$).

Эти правила можно применить к любой задаче, чтобы выполнить сравнение дробей.