Выбери из множества {8, 16, 24, 35, 40, 48, 54, 64} числа, которые:
а) кратны 8;
б) являются делителями 48.

Для решения данной задачи требуется понимание двух основных математических понятий: "кратность числа" и "делимость числа". Разберём теоретическую часть максимально подробно.

Кратность числа

Число $ a $ называется кратным числу $ b $, если при делении числа $ a $ на число $ b $ получается целое число, то есть остаток от деления равен нулю. Формально это можно записать так:

$$ a \text{ кратно } b \iff a \mod b = 0 $$

Где $ \mod $ – операция нахождения остатка при делении.

Примеры:
− Число 16 кратно 8, так как $ 16 \div 8 = 2 $ (целое число, остаток равен 0).
− Число 35 не кратно 8, так как при делении $ 35 \div 8 = 4 $ остаток будет 3.

Чтобы определить, какие числа из множества кратны $ b $, нужно проверить каждое число на делимость на $ b $. Если остаток от деления равен нулю, значит число удовлетворяет условию кратности.

Делимость числа

Число $ b $ называется делителем числа $ a $, если $ a $ можно разделить на $ b $ так, чтобы в результате получилось целое число без остатка. Это означает, что $ a $ делится на $ b $ "полностью".

Формально:

$$ b \text{ является делителем } a \iff a \mod b = 0 $$

Примеры:
− Число 24 является делителем числа 48, так как $ 48 \div 24 = 2 $ (целое число, остаток равен 0).
− Число 35 не является делителем 48, так как $ 48 \div 35 $ не даёт целого числа.

Чтобы определить все делители числа $ a $, необходимо найти все числа, которые делят $ a $ без остатка. Делители числа всегда меньше или равны самому числу.

Алгоритм решения задачи

1. Кратность числа:

   • Для проверки кратности числа из множества $ \{8, 16, 24, 35, 40, 48, 54, 64\} $ числу $ 8 $, необходимо выполнить деление каждого элемента множества на $ 8 $ ($ a \div 8 $). Если результат деления – целое число, то это число кратно $ 8 $.

2. Делимость числа:

   • Для проверки делимости числа из множества $ \{8, 16, 24, 35, 40, 48, 54, 64\} $ числу $ 48 $, нужно выполнить деление $ 48 \div b $, где $ b $ – элемент множества. Если результат деления – целое число, то $ b $ является делителем $ 48 $.

Дополнительные теоретические сведения

1. Признак кратности 8:

   • Число кратно $ 8 $, если его последние три цифры образуют число, которое делится на $ 8 $. Для чисел до 1000 это просто проверка: $ a \mod 8 = 0 $.

2. Поиск делителей числа:

   • Делители числа $ a $ – это все числа, которые находятся в диапазоне от $ 1 $ до $ a $ и делят $ a $ без остатка. Например, делители числа $ 48 $: $ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 $.

3. Пересечение множеств:

   • Если одно число удовлетворяет сразу двум условиям (например, оно кратно $ 8 $ и является делителем $ 48 $), то оно включается в оба результата.

Теперь у вас есть полное теоретическое понимание задачи!