Прочитай неравенство и найди множество его натуральных решений:
а) $\frac{1}{8} ≤ \frac{1}{x} < \frac{1}{4}$;
б) $\frac{1}{12} < \frac{1}{y} ≤ \frac{1}{7}$.

Для решения задачи нужно понять, как работают отношения между дробями, а также разобраться с их обратными значениями. Мы будем использовать свойства дробей и взаимосвязь между числителем и знаменателем.

Теоретическая часть

Отношения между дробями

Дробь вида $\frac{1}{x}$ обозначает, что 1 делится на число $x$. Чем больше значение $x$, тем меньше значение дроби $\frac{1}{x}$. Например:
− Если $x = 2$, то $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$.
− Если $x = 3$, то $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$.
− Если $x = 10$, то $\frac{1}{x} = \frac{1}{10}$.

Таким образом, дроби с большим знаменателем имеют меньшее значение, а дроби с меньшим знаменателем имеют большее значение. Это важно для сравнения дробей.

Сравнение дробей

Чтобы сравнить две дроби с одинаковым числителем, можно просто сравнить их знаменатели:
− Если знаменатель у одной дроби больше, то сама дробь меньше.
− Если знаменатель меньше, то дробь больше.

Например:
− $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$, потому что знаменатель у второй дроби больше.
− $\frac{1}{6} < \frac{1}{5}$, потому что знаменатель у первой дроби больше.

Свойства обратных величин

Если мы знаем, что $\frac{1}{x}$ меньше или больше некоторого значения, то мы можем найти соответствующее значение $x$ по свойству обратных величин:
1. Если $\frac{1}{x} \leq a$, то $x \geq \frac{1}{a}$, так как увеличение $x$ уменьшает дробь.
2. Если $\frac{1}{x} \geq a$, то $x \leq \frac{1}{a}$.
3. Если $\frac{1}{x} < a$, то $x > \frac{1}{a}$.
4. Если $\frac{1}{x} > a$, то $x < \frac{1}{a}$.

Таким образом, знаки неравенства переворачиваются при переходе от дроби к ее знаменателю.

Поиск натуральных решений

Натуральные числа — это положительные целые числа: $1, 2, 3, 4, \ldots$. Поэтому при решении неравенства нужно учитывать только те значения $x$ или $y$, которые принадлежат множеству натуральных чисел.

Шаги для нахождения натуральных решений:
1. Преобразовать неравенство с дробями, чтобы получить условия для знаменателя $x$ или $y$.
2. Определить диапазон значений для $x$ или $y$, которые соответствуют натуральным числам.
3. Выписать результат в виде множества натуральных чисел.

При решении задачи важно внимательно следить за знаками неравенства и правильно переворачивать их при переходе от дроби к знаменателю.