Найди весь пройденный путь, если 400 м составляют:
а) половину этого пути;
б) $\frac{1}{5}$ пути;
в) $\frac{1}{3}$ пути;
г) 1% пути.

Для решения задачи, в которой требуется найти весь пройденный путь на основе заданной доли (например, половины, пятой части, трети и т.д.), важно понять взаимосвязь между частями и целым. Давайте разберем теоретическую часть, которая поможет вам решить задачу.

1. Понятие доли целого:
   Доля чего−либо — это часть от целого, выраженная с помощью дроби, процента или другого численного представления. Например:

   • Если сказано, что 400 м — это половина пути, то весь путь составляет два таких отрезка, так как половина означает деление целого на 2.
   • Если 400 м — это одна пятая (или $ \frac{1}{5} $) пути, то весь путь состоит из пяти таких отрезков.

2. Обратное вычисление целого от его части:
   Если дана часть целого и известно, какая конкретно часть (например, одна треть или один процент), то целое можно найти, разделив данное значение на величину этой части. Например:

   • Если известно, что 400 м составляет половину пути, то весь путь можно найти, разделив 400 м на $ \frac{1}{2} $, что эквивалентно умножению на 2.
   • Если известно, что 400 м составляют $ \frac{1}{5} $ пути, то весь путь можно найти, разделив 400 м на $ \frac{1}{5} $, что эквивалентно умножению на 5.

3. Математическая формула:
   В общем виде, если часть пути составляет $ a $ метров и известно, что эта часть равна $ \frac{1}{n} $ пути, то весь путь $ S $ можно найти по следующей формуле:
   $$ S = a \div \frac{1}{n} = a \cdot n $$
   Здесь $ n $ — это знаменатель дроби, который показывает, на сколько частей делится целое.

4. Проценты как частный случай дробей:
   Проценты — это особое представление долей целого, где целое принято считать равным 100%. Если известно, что 400 м составляет 1% пути, то весь путь можно найти, разделив 400 м на 1% (или $ \frac{1}{100} $). В результате получится:
   $$ S = 400 \div 0.01 = 400 \cdot 100 $$
   Таким образом, при работе с процентами важно помнить, что 1% — это $ \frac{1}{100} $, а для вычисления целого нужно умножить известную часть на 100.

5. Пример рассуждений для каждого случая:

   • Половина пути: Если 400 м — это половина пути, то весь путь состоит из двух таких частей. Другими словами, нужно умножить 400 на 2.
   • Одна пятая пути: Если 400 м — это $ \frac{1}{5} $ пути, то весь путь состоит из пяти таких частей. Нужно умножить 400 на 5.
   • Одна треть пути: Если 400 м — это $ \frac{1}{3} $ пути, то весь путь состоит из трёх таких частей. Нужно умножить 400 на 3.
   • Один процент пути: Если 400 м — это 1% пути, то весь путь состоит из ста таких частей, так как один процент — это $ \frac{1}{100} $. Нужно умножить 400 на 100.

6. Проверка результата:
   После вычисления всего пути имеет смысл проверить, соответствует ли полученное значение условиям задачи. Для проверки можно найти заданную долю от вычисленного целого (например, половину, $ \frac{1}{5} $, $ \frac{1}{3} $, или 1%) и убедиться, что она равна 400 м.

При использовании этих теоретических принципов вы сможете самостоятельно рассчитать весь пройденный путь для каждого случая задачи!