1) Пусть A − множество натуральных решений неравенства 4 ≤ x < 8, а B − множество натуральных решений неравенства 5 < x ≤ 9. Запиши множества A и B с помощью скобок, найди их объединение и пересечение.
2) Найди объединение и пересечение множеств натуральных решений неравенств 3 ≤ x < 7 и x ≥ 5.

Для решения задач, связанных с множествами, важно понять основные понятия и операции над множествами. Вот теоретическая часть, которая поможет решить задачи:

Множество и его элементы

Множество — это совокупность объектов, которые называются элементами множества. Например, множество всех натуральных чисел, меньших 5, можно записать как $ \{1, 2, 3, 4\} $.

Понятие натуральных чисел

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета: $ 1, 2, 3, 4, \dots $. В задачах чаще всего рассматриваются только натуральные числа, если не указано иначе.

Запись множества

Множество можно записывать с помощью фигурных скобок $ \{ \dots \} $, перечисляя элементы множества. Например, если множество $ A $ состоит из чисел $ 1, 2, $ и $ 3 $, то оно записывается как $ A = \{1, 2, 3\} $.

Если множество задается условием, то его элементы — это те числа, которые удовлетворяют данному условию. Например:
− Для неравенства $ 4 \leq x < 8 $, множество решений будет состоять из всех натуральных чисел, удовлетворяющих этому условию.

Объединение множеств

Объединением двух множеств $ A $ и $ B $ называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств обозначается символом $ \cup $. Формально:
$$ A \cup B = \{x \mid x \in A \, \text{или} \, x \in B\}. $$

Пример:
Если $ A = \{1, 2, 3\} $ и $ B = \{3, 4, 5\} $, то их объединение:
$$ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}. $$

Пересечение множеств

Пересечением двух множеств $ A $ и $ B $ называется множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству $ A $, и множеству $ B $. Пересечение множеств обозначается символом $ \cap $. Формально:
$$ A \cap B = \{x \mid x \in A \, \text{и} \, x \in B\}. $$

Пример:
Если $ A = \{1, 2, 3\} $ и $ B = \{3, 4, 5\} $, то их пересечение:
$$ A \cap B = \{3\}. $$

Решение задач с множествами

При решении подобных задач нужно последовательно выполнить следующие шаги:
1. Записать множества, исходя из условий неравенств.
Для этого определяем все натуральные числа, которые удовлетворяют условиям, и записываем их в виде множества.

1. Выполнить операции над множествами.

   • Для объединения подобрать все числа, которые принадлежат хотя бы одному множеству.
   • Для пересечения выбрать числа, которые принадлежат обоим множествам.

2. Записать окончательный результат.

Пример для анализа задачи:

1. Для множества $ A $:
Условие $ 4 \leq x < 8 $ означает, что $ x $ — натуральные числа $ 4, 5, 6, 7 $, потому что они удовлетворяют этому двойному неравенству.

2. Для множества $ B $:
Условие $ 5 < x \leq 9 $ означает, что $ x $ — натуральные числа $ 6, 7, 8, 9 $, потому что они удовлетворяют этому двойному неравенству.

Объединение и пересечение множеств:
Объединение $ A \cup B $ — это все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $ A $ или $ B $.

Пересечение $ A \cap B $ — это элементы, которые одновременно принадлежат и $ A $, и $ B $.

Анализ второй задачи:

1. Для первого множества:
Условие $ 3 \leq x < 7 $ означает, что $ x $ — натуральные числа $ 3, 4, 5, 6 $.

2. Для второго множества:
Условие $ x \geq 5 $ означает, что $ x $ — натуральные числа $ 5, 6, 7, 8, \dots $.

Объединение и пересечение множества:
Объединение $ A \cup B $ и пересечение $ A \cap B $ находятся так же, как описано выше.

Эта теоретическая база позволит успешно решить обе задачи!