Для каких значений переменной x верно неравенство:
а) $\frac{1}{x}$ ≤ $\frac{1}{7}$;
б) $\frac{1}{6}$ ≤ $\frac{1}{x}$ < $\frac{1}{3}$.

Для решения таких задач нужно понимать, как ведёт себя дробь вида $ \frac{1}{x} $ в зависимости от значения переменной $ x $. Давайте разберёмся с этим шаг за шагом.

1. Понятие дроби вида $ \frac{1}{x} $:

   • Если $ x > 0 $, то дробь $ \frac{1}{x} $ является положительным числом.
   • Если $ x < 0 $, то дробь $ \frac{1}{x} $ является отрицательным числом.
   • Чем больше значение $ x $ (для $ x > 0 $), тем меньше значение дроби $ \frac{1}{x} $. Например, $ \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} $.
   • Чем меньше значение $ x $ (для $ x > 0 $), тем больше значение дроби $ \frac{1}{x} $. Например, $ \frac{1}{2} < \frac{1}{1.5} < \frac{1}{1} $.
   • Если $ x < 0 $, то поведение дроби аналогично, но значения будут отрицательными: $ \frac{1}{-2} > \frac{1}{-3} > \frac{1}{-4} $.

2. Особые случаи:

   • Если $ x = 0 $, то $ \frac{1}{x} $ не определено, поэтому $ x = 0 $ всегда исключается из области определения.
   • Если $ x = 1 $, то $ \frac{1}{x} = 1 $.
   • Если $ x = -1 $, то $ \frac{1}{x} = -1 $.

3. Решение линейных неравенств с дробями:
   Прежде чем решать неравенства, нужно помнить следующие пункты:

   • Знак неравенства меняется на противоположный, если обе стороны умножаются или делятся на отрицательное число.
   • Работая с дробями, важно определить знак переменной $ x $, чтобы понять направление неравенства.
   • Область определения переменной $ x $ нужно учитывать (здесь $ x \neq 0 $).

4. Анализ условий задачи:
   Рассмотрим каждую часть отдельно.

а) $ \frac{1}{x} \leq \frac{1}{7} $:
− Нам нужно определить, для каких значений $ x $ выполняется это неравенство. При этом следует учитывать знаки дробей и поведение функции $ \frac{1}{x} $.
− Разделим решение на два случая: $ x > 0 $ и $ x < 0 $.

б) $ \frac{1}{6} \leq \frac{1}{x} < \frac{1}{3} $:
− Здесь нужно определить те значения $ x $, при которых дробь $ \frac{1}{x} $ находится между $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{3} $. Такое условие также следует рассматривать отдельно для $ x > 0 $ и $ x < 0 $, учитывая, что дробь $ \frac{1}{x} $ ведёт себя по−разному в зависимости от знака $ x $.

1. Графическое представление поведения $ \frac{1}{x} $:

   • График функции $ \frac{1}{x} $ имеет две ветви: одна находится в первой четверти (для $ x > 0 $), другая — в третьей четверти (для $ x < 0 $).
   • Для $ x > 0 $, значения $ \frac{1}{x} $ убывают при увеличении $ x $.
   • Для $ x < 0 $, значения $ \frac{1}{x} $ возрастают при уменьшении $ x $ (по модулю).

2. Общий алгоритм решения:

   • Убедитесь, что $ x \neq 0 $, так как деление на ноль не определено.
   • Преобразуйте неравенство так, чтобы выделить переменную $ x $.
   • Учтите, что при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
   • Разделите решение на два случая: $ x > 0 $ и $ x < 0 $, и решайте их отдельно.

Эта теоретическая основа поможет вам решить задачу. Удачи!