Сравни доли:
$\frac{1}{7}☐\frac{1}{5}$;
$\frac{1}{15}☐\frac{1}{20}$;
$\frac{1}{480}☐\frac{1}{408}$;
$\frac{1}{601}☐\frac{1}{610}$.

Для сравнения дробей важно понимать основные принципы работы с дробями и их свойствами. В данной задаче требуется сравнить дроби вида $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Чтобы решить такие задачи, нужно знать несколько ключевых теоретических аспектов.

Теоретическая часть: Сравнение дробей с единицей в числителе

1. Общий принцип сравнения дробей

Дробь $\frac{1}{a}$ означает, что единица делится на число $a$. Чем больше значение $a$, тем меньше становится дробь $\frac{1}{a}$. Например, $\frac{1}{2} = 0.5$, а $\frac{1}{3} = 0.333...$; очевидно, что $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.
Таким образом, для сравнения дробей с единицей в числителе, достаточно сравнить их знаменатели ($a$ и $b$):
− Если $a < b$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ (большее число в знаменателе делает дробь меньше).
− Если $a > b$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

2. Метод приведения дробей к общему знаменателю

Иногда полезно сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Для этого:
1. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей $a$ и $b$.
2. Преобразуйте обе дроби, чтобы у них был этот общий знаменатель.
3. Сравните числители дробей: большее значение числителя соответствует большей дроби.

3. Метод сравнения через деление

Если знаменатели дробей не слишком велики, можно выполнить деление и сравнить результат. Например:
− Для $\frac{1}{7} \text{ и } \frac{1}{5}$, вычисляем $1 \div 7$ и $1 \div 5$. Затем сравниваем результаты.

4. Сравнение через свойства дробей

Для дробей вида $\frac{1}{a}$:
− Дробь уменьшает своё значение при увеличении знаменателя.
− Чем больше знаменатель, тем ближе дробь к нулю.

Примеры применения теории к задаче

1. $\frac{1}{7} \;\square\;\frac{1}{5}$:

   • Сравниваем знаменатели $7$ и $5$. Поскольку $7 > 5$, дробь с большим знаменателем ($\frac{1}{7}$) меньше дроби с меньшим знаменателем ($\frac{1}{5}$).

2. $\frac{1}{15} \;\square\;\frac{1}{20}$:

   • Сравниваем знаменатели $15$ и $20$. Поскольку $15 < 20$, дробь с меньшим знаменателем ($\frac{1}{15}$) больше дроби с большим знаменателем ($\frac{1}{20}$).

3. $\frac{1}{480} \;\square\;\frac{1}{408}$:

   • Сравниваем знаменатели $480$ и $408$. Поскольку $480 > 408$, дробь с большим знаменателем ($\frac{1}{480}$) меньше дроби с меньшим знаменателем ($\frac{1}{408}$).

4. $\frac{1}{601} \;\square\;\frac{1}{610}$:

   • Сравниваем знаменатели $601$ и $610$. Поскольку $601 < 610$, дробь с меньшим знаменателем ($\frac{1}{601}$) больше дроби с большим знаменателем ($\frac{1}{610}$).

Итог

Для сравнения дробей вида $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ используется свойство дробей с единицей в числителе: дробь уменьшается при увеличении знаменателя. Это позволяет сравнивать дроби, просто анализируя их знаменатели.