Вырежь из бумаги прямоугольник со сторонам 4 см и 16 см и согни его пополам. Затем раздели его с помощью перегибания на 4 равные части, на 8 равных частей. Как изменяется каждая часть, когда их число увеличивается?

Для решения этой задачи важны понятия дробей, деления фигуры на равные части и изменения размера каждой части при увеличении общего числа частей. Рассмотрим теоретическую основу:

1. Понятие прямоугольника:
   Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые (90 градусов). Прямоугольник имеет две пары противоположных сторон, причем противоположные стороны равны и параллельны. В данном случае длина прямоугольника равна 16 см, а ширина − 4 см.

2. Перегибание прямоугольника:
   Когда прямоугольник перегибается пополам, его площадь остаётся неизменной, но форма изменяется. Перегибание пополам делит прямоугольник на две равные части, каждая из которых имеет половину первоначальной площади. В данном случае, если прямоугольник согнуть пополам вдоль длины (16 см), получится две части с размерами:

   • Длина: 8 см
   • Ширина: 4 см

3. Разделение на 4 равные части:
   Чтобы разделить прямоугольник на 4 равные части, нужно снова перегибать его, но теперь — дважды вдоль длины. После второго перегибания каждая часть получит половину длины предыдущего сегмента. Таким образом, размеры каждой из 4 частей будут:

   • Длина: 4 см
   • Ширина: 4 см

4. Разделение на 8 равных частей:
   Чтобы разделить прямоугольник на 8 равных частей, нужно перегибать его ещё дважды. В результате длина каждой части уменьшится ещё вдвое. Размеры каждой из 8 частей будут:

   • Длина: 2 см
   • Ширина: 4 см

5. Изменение размера каждой части при увеличении числа частей:
   При увеличении числа частей, прямоугольник продолжает делиться на равные части, каждая из которых становится меньшей по размеру. Это связано с тем, что вся площадь прямоугольника, изначально равная $ 16 \, \text{см} \times 4 \, \text{см} = 64 \, \text{см}^2 $, остаётся неизменной, но распределяется между всё большим числом частей. Размер каждой отдельной части уменьшается пропорционально увеличению их количества.

6. Обобщение закономерности:
   Если прямоугольник делится на $ n $ равных частей, то площадь каждой части будет равна:
   $$ \text{Площадь каждой части} = \frac{\text{Общая площадь}}{n} $$
   А размеры каждой части зависят от способа перегибания: если перегибать только вдоль длины, то длина каждой части уменьшается, а ширина остаётся неизменной.

7. Заключение:
   Таким образом, при увеличении числа частей, площадь и длина каждой части уменьшаются, но общая площадь прямоугольника остаётся неизменной.