Раздели прямоугольники на 3 равные части разными способами. Раскрась на каждом из них третью часть цветным карандашом. Равны ли эти части по площади? Докажи.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть несколько ключевых математических понятий, которые помогут правильно разделить прямоугольники и доказать равенство частей по площади. Вот подробное теоретическое объяснение:

Понятие площади

Площадь — это числовая характеристика, которая отражает размер поверхности фигуры. Для прямоугольника площадь вычисляется по формуле:
$$ S = a \times b, $$
где $ a $ — длина одной стороны прямоугольника, а $ b $ — длина другой стороны.

Условие равных частей

Если мы делим фигуру на несколько частей, то для того, чтобы части были равными, их площади должны быть одинаковыми. Чтобы разделить прямоугольник на три равные части, площадь каждой части должна быть:
$$ S_{\text{части}} = \frac{S}{3}, $$
где $ S $ — площадь всего прямоугольника.

Подходы к разделению прямоугольника

Прямоугольник можно разделить на равные части несколькими способами:
1. Вертикальное деление: Разделить прямоугольник на три равные вертикальные полосы.
2. Горизонтальное деление: Разделить прямоугольник на три равные горизонтальные полосы.
3. Смешанное деление: Разделить прямоугольник на отдельные блоки таким образом, чтобы площадь каждого блока была равна $ \frac{S}{3} $.

Свойства площади при делении

1. Если прямоугольник состоит из нескольких равных частей, их площадь равна независимо от формы. Это означает, что даже если части имеют разную форму (например, вертикальные полосы, горизонтальные полосы или сложные фигуры), их площадь всё равно будет одинаковой, если деление выполнено правильно.
2. Для доказательства равенства площадей частей можно подсчитать количество маленьких прямоугольников (или клеток), из которых состоит каждая часть. Если количество одинаково, то площади частей равны.

Шаги решения задачи

1. Найдите общую площадь прямоугольника. Для этого подсчитайте количество маленьких клеток, которые составляют весь прямоугольник.
2. Разделите прямоугольник на три равные части. Выберите несколько способов (например, вертикальное, горизонтальное и смешанное деление).
3. Убедитесь, что площадь каждой части равна $ \frac{S}{3} $. Для этого подсчитайте количество клеток, которые входят в каждую часть.
4. Раскрасьте одну часть в каждом варианте деления.
5. Докажите равенство площадей, подсчитав количество клеток в каждой из частей.

Вывод

Равные части прямоугольника имеют одинаковую площадь независимо от формы. Это можно доказать, подсчитав количество клеток в каждой части.