Продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность:
а) 0, 36, 72, 108, ...;
б) 5, 6, 8, 11, 15, 20, ...;
в) 15, 14, 16, 13, 17, 12, ...;
г) 1, 3, 7, 15, 31, 63, ... .

Для того чтобы продолжить каждый из данных рядов, нужно определить закономерность, по которой числа добавляются друг за другом. Рассмотрим каждый ряд отдельно, чтобы понять логику, заложенную в последовательность. Описание каждой закономерности дано максимально подробно, чтобы ученик смог понять принцип и использовать его для продолжения ряда.

(а) Ряд: 0, 36, 72, 108, ...

Для начала обратим внимание на то, как числа изменяются от одного элемента к следующему. Для этого вычтем каждое предыдущее число из последующего:

• $ 36 - 0 = 36 $
• $ 72 - 36 = 36 $
• $ 108 - 72 = 36 $

Таким образом, разность между двумя соседними числами в этом ряду — постоянная и равна $ 36 $. Это называется арифметической прогрессией, где разность между соседними числами называется шагом (или разностью) прогрессии. Чтобы продолжить ряд, нужно к последнему числу $ 108 $ прибавить эту разность $ 36 $ три раза подряд.

(б) Ряд: 5, 6, 8, 11, 15, 20, ...

Здесь разности между соседними числами не одинаковы, поэтому нужно внимательно изучить, как они изменяются:

• $ 6 - 5 = 1 $
• $ 8 - 6 = 2 $
• $ 11 - 8 = 3 $
• $ 15 - 11 = 4 $
• $ 20 - 15 = 5 $

Разности между числами постепенно увеличиваются: $ 1, 2, 3, 4, 5 $. Это называется закономерность возрастающей разности. Чтобы продолжать ряд, нужно к последнему числу $ 20 $ прибавить последовательно следующие разности $ 6, 7, 8 $.

(в) Ряд: 15, 14, 16, 13, 17, 12, ...

В этом ряду числа поочередно уменьшаются и увеличиваются. Выделим отдельно числа на нечётных местах (1−е, 3−е, 5−е и так далее) и чётных местах (2−е, 4−е, 6−е и так далее):

• Нечётные числа: $ 15, 16, 17, ... $ (они возрастают на $ +1 $ каждый раз: $ 15 + 1 = 16 $, $ 16 + 1 = 17 $, и так далее).
• Чётные числа: $ 14, 13, 12, ... $ (они убывают на $ -1 $ каждый раз: $ 14 - 1 = 13 $, $ 13 - 1 = 12 $, и так далее).

Закономерность такова: если номер числа нечётный, оно увеличивается на $ 1 $; если номер числа чётный, оно уменьшается на $ 1 $. Следовательно, для продолжения ряда нужно отдельно продолжить оба набора чисел.

(г) Ряд: 1, 3, 7, 15, 31, 63, ...

Для этого ряда обратим внимание на соотношение каждого числа с предыдущим. Попробуем найти закономерность:

• $ 3 = 1 \times 2 + 1 $
• $ 7 = 3 \times 2 + 1 $
• $ 15 = 7 \times 2 + 1 $
• $ 31 = 15 \times 2 + 1 $
• $ 63 = 31 \times 2 + 1 $

Каждое число получается умножением предыдущего числа на $ 2 $ и прибавлением $ 1 $. Такая закономерность называется геометрической прогрессией с добавлением постоянного числа. Чтобы продолжить ряд, нужно взять последнее число $ 63 $, умножить его на $ 2 $ и прибавить $ 1 $, затем повторить это действие ещё два раза.