Найди значения выражений:
7 м 6 см − 3 м 8 дм;
8 дм 4 мм + 6 см 7 мм;
$4 м^2 5 дм^2$ : 3;
$1 дм^2 25 см^2$ * 16.

Для решения данной задачи важно понимать, как работают операции сложения, вычитания, умножения и деления в пределах величин, таких как метры, дециметры, сантиметры, миллиметры, квадратные метры и квадратные сантиметры, а также перевод между ними. Ниже приведено подробное объяснение всех теоретических аспектов, необходимых для решения задачи.

1. Основы единиц измерения длины:

• 1 м = 10 дм (1 метр равен 10 дециметрам).
• 1 дм = 10 см (1 дециметр равен 10 сантиметрам).
• 1 см = 10 мм (1 сантиметр равен 10 миллиметрам).

При выполнении операций с длинами, важно приводить все значения к одной системе измерений, чтобы можно было легко сложить или вычесть величины. Например, если нужно сложить метры и дециметры, можно перевести метры в дециметры.

Как привести к общей единице измерения?
− Для перевода из большей единицы в меньшую нужно умножать: например, 1 м = 10 дм, поэтому, если у нас есть 7 м, то это будет $7 \times 10 = 70$ дм.
− Для перевода из меньшей единицы в большую нужно делить: например, 15 дм = $15 \div 10 = 1,5$ м.

Также, при выполнении операций вычитания и сложения, нужно учитывать перерасчеты, если значение в одной из частей (например, дециметры) выходит за пределы 10.

2. Основы сложения и вычитания величин длины:

• Чтобы сложить или вычесть величины длины, нужно учитывать каждую составляющую (метры, дециметры, сантиметры и миллиметры). Если в результате сложения или вычитания появляется лишняя часть (например, больше 10 дм), нужно перевести её в старшую единицу.
• Например:
  • $7 \, \text{м} 6 \, \text{см} - 3 \, \text{м} 8 \, \text{дм}$.
  • Сначала переводим 8 дм в сантиметры: $8 \times 10 = 80 \, \text{см}$.
  • Затем выполняем вычитание отдельно для метров и сантиметров.

3. Основы сложения величин длины с миллиметрами:

• Прежде чем сложить длины, необходимо перевести все величины в одну из систем измерения. Например:
  • $8 \, \text{дм} 4 \, \text{мм} + 6 \, \text{см} 7 \, \text{мм}$.
  • Переводим дециметры в сантиметры, а затем складываем миллиметры отдельно. Учитываем, что $10 \, \text{мм} = 1 \, \text{см}$, если сумма миллиметров превышает 10.

4. Основы работы с площадями (квадратные метры, дециметры, сантиметры):

Для квадратных величин важно понимать, как переводить единицы измерения.

• 1 м² = 100 дм² (1 квадратный метр равен 100 квадратным дециметрам).
• 1 дм² = 100 см² (1 квадратный дециметр равен 100 квадратным сантиметрам).
• 1 см² = 100 мм² (1 квадратный сантиметр равен 100 квадратным миллиметрам).

Пример перевода:
Если у нас есть $4 \, \text{м}^2 5 \, \text{дм}^2$:
− $4 \, \text{м}^2 = 400 \, \text{дм}^2$,
− Общая величина: $400 + 5 = 405 \, \text{дм}^2$.

5. Деление площадей:

• Когда мы делим площадь (например, 405 дм²) на число, важно учитывать дробные части и при необходимости приводить их обратно в систему измерений.
• Например: $405 \, \text{дм}^2 : 3 = 135 \, \text{дм}^2.$

6. Умножение площадей:

• При умножении площади на число, результат выражается в той же единице измерения.
• Например: $1 \, \text{дм}^2 25 \, \text{см}^2 \times 16$.
  • Переводим $1 \, \text{дм}^2$ в квадратные сантиметры: $1 \, \text{дм}^2 = 100 \, \text{см}^2,$ поэтому $1 \, \text{дм}^2 25 \, \text{см}^2 = 100 + 25 = 125 \, \text{см}^2.$
  • Затем умножаем: $125 \times 16 = 2000 \, \text{см}^2.$

Теперь, имея все эти теоретические основы, можно применять их для решения задачи.