а) 57 яблок разложили на кучки по 6 яблок в каждой. Сколько полуилось кучек и сколько яблок осталось?
б) Когда сливы разложили на 36 тарелок по 12 слив, осталось еще 7 слив. Сколько было слив?
в) Было 120 конфет. После того как каждому ученику раздали по 4 конфеты, осталось 12 конфет. Сколько было учеников?

Для решения этих задач необходимо использовать понятия деления, умножения и остатка. Рассмотрим каждый этап теоретически.

а) Разложение яблок на кучки с делением с остатком

В этой задаче нужно определить, сколько кучек получится, если 57 яблок разложить по 6 яблок в каждой кучке, и сколько яблок останется.

1. Принцип деления с остатком: При делении одного числа на другое мы можем определить, сколько раз одно число помещается в другое (частное), и сколько будет оставаться после этого (остаток). Остаток — это то количество, которое не удалось разложить, так как оно меньше делителя.

2. Формула деления с остатком: Если $ a $ — делимое, $ b $ — делитель, $ q $ — частное, а $ r $ — остаток, то выполняется равенство:
   $$ a = b \cdot q + r $$
   где $ r < b $.

3. Как найти частное $ q $: Чтобы определить, сколько раз делитель ($ b $) помещается в делимом ($ a $), нужно выполнить обычное деление:
   $$ q = \frac{a}{b} $$
   Если деление не выполняется нацело, то округляем частное вниз до ближайшего целого числа.

4. Как найти остаток $ r $: После умножения частного $ q $ на делитель $ b $, вычитаем результат из делимого $ a $:
   $$ r = a - b \cdot q $$

б) Разложение слив по тарелкам с учетом остатка

Здесь нужно определить общее количество слив, если 36 тарелок были заполнены по 12 слив в каждой, а после этого осталось еще 7 слив.

1. Понимание задачи: Сначала нужно найти, сколько слив было на тарелках, а затем прибавить те, что остались.

2. Умножение для нахождения общего количества слив на тарелках: Если $ n $— количество тарелок, а $ m $— количество слив на каждой тарелке, то общее количество слив на тарелках равно:
   $$ n \cdot m $$

3. Суммирование для нахождения общего количества слив: После вычисления слив на тарелках добавляем остаток слив $ r $, чтобы найти их общее число:
   $$ \text{Общее количество слив} = n \cdot m + r $$

в) Раздача конфет ученикам

В этой задаче нужно определить, сколько учеников было, если каждому из них раздали по 4 конфеты, а после этого осталось 12 конфет.

1. Общее количество конфет: Из задачи известно, что первоначально было 120 конфет, из которых часть была раздана ученикам, а 12 конфет остались.

2. Количество разданных конфет: Чтобы найти количество конфет, которые были разданы, нужно вычесть оставшиеся конфеты из общего количества:
   $$ \text{Разданные конфеты} = \text{Общее количество конфет} - \text{Оставшиеся конфеты} $$

3. Связь между числом учеников и разданными конфетами: Если каждому ученику раздали одинаковое количество конфет (4 конфеты), то общее количество разданных конфет можно выразить как произведение количества учеников ($ n $) на количество конфет, полученных каждым учеником ($ m = 4 $):
   $$ \text{Разданные конфеты} = n \cdot m $$

4. Нахождение числа учеников: Чтобы найти число учеников ($ n $), нужно разделить количество разданных конфет на количество конфет, полученных каждым учеником:
   $$ n = \frac{\text{Разданные конфеты}}{m} $$

Эти теоретические шаги помогут понять, как решить каждую часть задачи, используя математические операции деления, остатка, умножения и вычитания.