На луче указаны некоторые числа. Запиши неравенство так, чтобы отмеченные числа были его решениями.

Существуют ли другие неравенства, удовлетворяющие этому условию? Приведите примеры.

Чтобы решать задачи, связанные с неравенствами, важно понимать теоретические основы этого понятия.

Неравенства и их решения

Неравенства — это математические выражения, в которых используется знак сравнения. Основные знаки:
1. > — больше;
2. < — меньше;
3. ≥ — больше или равно;
4. ≤ — меньше или равно.

Решением неравенства называется множество чисел, которые удовлетворяют данному неравенству. Решения часто изображаются на числовой прямой.

Работа с числовой прямой

Числовая прямая — это линия, на которой отображены числа. Любая точка прямой соответствует числу. Если на числовой прямой отмечены точки, то они могут представлять решения неравенства. Мы должны определить, какое неравенство соответствует этим точкам.

Разбор числовой прямой

В задачах, где отмечены точки на числовой прямой, важно определить:
1. Какие числа отмечены? Например, на числовой прямой могут быть отмечены числа 2, 3 и 7.
2. Как они расположены относительно друг друга? Точки могут образовывать интервал (например, между 2 и 7) или быть отдельными.
3. Границы интервала: Если точки образуют интервал, важно понять, включает ли он границы (замкнутый) или нет (открытый).

Формулировка неравенства

Чтобы записать неравенство для чисел, нужно понять:
1. Все ли числа между отмеченными точками включаются в решение?
2. Как задать условия для включения данных чисел в решение?

Пример: если на числовой прямой отмечены числа $2$, $3$, и $7$:
− Если требуется включить числа от $2$ до $7$ (включая границы), то неравенство будет записано как $2 \leq x \leq 7$.
− Если точки $2$ и $7$ не включены, но все числа между ними входят в решение, то неравенство будет $2 < x < 7$.

Другие возможные неравенства

Существует множество неравенств, которые могут давать одинаковые решения. Например:
− Если решения находятся в интервале от $2$ до $7$, можно записать неравенство в виде $2 < x \leq 7$, $x \geq 2, x \leq 7$ и т. д.

Алгоритм записи неравенства

1. Определите, какие числа являются решениями (отмечены на луче).
2. Если все числа между крайними точками являются решениями, определите границы:
   • Границы включены → знак больше или равно ($≥$) или меньше или равно ($≤$).
   • Границы не включены → знак больше ($>$) или меньше ($<$).
3. Если решения — отдельные точки, запишите их в виде списка ($x = a, b, c$) или используйте объединение множества ($x = a \cup b \cup c$).

Существование других неравенств

Если требуется проверить, существуют ли другие неравенства, удовлетворяющие условию, то:
1. Рассмотрите все возможные варианты записи неравенства.
2. Проверьте, включают ли такие варианты все отмеченные числа на луче.

Пример:

Если решения находятся в интервале $0$ до $5$ (как в части b), то возможны следующие записи:
− $0 \leq x \leq 5$,
− $0 < x \leq 5$,
− $x \geq 0, x \leq 5$.

Таким образом, теоретическая часть включает понимание неравенств, их решений, числовой прямой, а также различных способов записи условий, чтобы включить заданные точки.