Найди множества решений двух неравенств. Что ты замечаешь?
а) a < 5 и a ≤ 5;
б) 3 > b и c < 3;
в) x > 7 и x ≥ 8.

Рассмотрим теоретическую часть, чтобы разобраться с понятиями и подходами к решению задачи.

Основные понятия:

1. Неравенство — математическое выражение, которое устанавливает отношения порядка между числами или выражениями. Основные виды неравенств:

   • Меньше (<) — означает, что одно число строго меньше другого.
   • Больше (>) — означает, что одно число строго больше другого.
   • Меньше либо равно (≤) — означает, что одно число либо меньше, либо равно другому.
   • Больше либо равно (≥) — означает, что одно число либо больше, либо равно другому.

2. Множество решений неравенства — это все значения переменной, которые удовлетворяют данному неравенству. Например, если дано неравенство x < 5, то множество решений — это все числа меньше 5: это могут быть как целые числа, так и дробные (например, $4, 4.5, 3.9$, и так далее).

3. Пересечение множеств — если даны два неравенства, их общие решения можно найти, исследуя пересечение множеств решений каждого из них. Пересечение множеств — это все элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам.

Теоретическое рассмотрение каждого пункта:

а) $a < 5$ и $a \leq 5$:

• Неравенство $a < 5$ означает, что множество решений содержит все числа, строго меньшие 5. Например, $4, 3.5, -1$, и так далее.
• Неравенство $a \leq 5$ включает все числа, которые либо строго меньше 5, либо равны 5 (то есть решениями являются $5, 4, 3.5, -1$, и так далее).

Сравнение множеств: Обратите внимание, что $a \leq 5$ включает в себя все элементы множества $a < 5$, но дополнительно включает число $5$. То есть множество решений первого неравенства ($a < 5$) является подмножеством второго ($a \leq 5$).

б) $3 > b$ и $c < 3$:

• Неравенство $3 > b$ означает, что множество решений содержит все числа, строго меньшие 3. Например, $2, 0.5, -1$, и так далее.
• Неравенство $c < 3$ также означает, что множество решений содержит все числа, строго меньшие 3. Например, $2, 0.5, -1$, и так далее.

Сравнение множеств: Заметим, что оба неравенства описывают одно и то же множество решений (все числа, строго меньшие 3), но используются разные переменные ($b$ и $c$).

в) $x > 7$ и $x \geq 8$:

• Неравенство $x > 7$ означает, что множество решений содержит все числа, строго большие 7. Например, $7.5, 8, 10$, и так далее.
• Неравенство $x \geq 8$ означает, что множество решений содержит все числа, которые либо равны 8, либо строго больше 8. Например, $8, 9, 10$, и так далее.

Сравнение множеств: Обратите внимание, что множество решений $x > 7$ включает числа, которые начинаются с $7.1, 7.5$, и так далее, но оно не включает число $7$ и $8$ как равное. Множество решений $x \geq 8$ начинается с $8$ и включает все числа, строго большие $8$. Здесь важно рассмотреть пересечение двух множеств: оно будет содержать только числа, удовлетворяющие обоим условиям.

Итоговые замечания:

• В пункте (а) видно, что одно множество является подмножеством другого.
• В пункте (б) решения двух неравенств полностью совпадают.
• В пункте (в) решения двух неравенств частично пересекаются.

Для решения задачи важно построить множества решений каждого неравенства отдельно (можно использовать числовую прямую) и затем исследовать их взаимосвязь.