Найди объем прямоугольного параллелепипеда, если две его грани площадью 48 $см^2$ и 120 $см^2$ имеют общее ребро длиной 8 см.

Для решения этой задачи необходимо применить знания о прямоугольном параллелепипеде и его характеристиках. Разберем подробно теоретическую часть.

Прямоугольный параллелепипед и его свойства

Прямоугольный параллелепипед — это фигура, состоящая из шести прямоугольных граней. Все углы этой фигуры прямые, а противоположные грани равны и параллельны.

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда представляет собой прямоугольник, площадь которого можно вычислить, умножив длину на ширину. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляют как произведение трех его измерений: длины, ширины и высоты.

Основные формулы

1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда:
   Если длина одной стороны прямоугольной грани равна $ a $, а длина другой стороны $ b $, то площадь грани $ S $ вычисляется по формуле:
   $$ S = a \times b $$

2. Объем прямоугольного параллелепипеда:
   Объем $ V $ прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение длины $ a $, ширины $ b $ и высоты $ c $:
   $$ V = a \times b \times c $$

Задача

В этой задаче нам даны:
− Площадь одной грани $ S_1 = 48 \, \text{см}^2 $,
− Площадь другой грани $ S_2 = 120 \, \text{см}^2 $,
− Общее ребро этих граней $ c = 8 \, \text{см} $.

Необходимо найти объем прямоугольного параллелепипеда.

Анализ задачи

1. Общее ребро. В задаче сказано, что две грани имеют общее ребро длиной $ c = 8 \, \text{см} $. Это означает, что $ c $ является одной из сторон обеих указанных граней.

2. Определение сторон граней. Чтобы найти объем параллелепипеда, необходимо определить длину всех трех его измерений $ a $, $ b $, $ c $. Мы знаем $ c = 8 $, а площади $ S_1 $ и $ S_2 $ связаны с оставшимися двумя сторонами.

Для первой грани с площадью $ S_1 $:
$$ S_1 = a \times c $$
Подставив $ c = 8 $, можно выразить $ a $:
$$ a = \frac{S_1}{c} $$

Для второй грани с площадью $ S_2 $:
$$ S_2 = b \times c $$
Подставив $ c = 8 $, можно выразить $ b $:
$$ b = \frac{S_2}{c} $$

1. Объем параллелепипеда. После нахождения $ a $ и $ b $, объем $ V $ параллелепипеда можно вычислить: $$ V = a \times b \times c $$

Теоретическая последовательность действий

1. Выразите длину $ a $ первой стороны через площадь $ S_1 $ и ребро $ c $:
   $$ a = \frac{S_1}{c} $$

2. Выразите длину $ b $ второй стороны через площадь $ S_2 $ и ребро $ c $:
   $$ b = \frac{S_2}{c} $$

3. Найдите объем $ V $, используя формулу:
   $$ V = a \times b \times c $$

Таким образом, используя данные площади и ребро, можно найти все необходимые измерения параллелепипеда и вычислить его объем.