а) Библиотеке нужно переплести 2700 книг. Одна мастерская может переплести эти книги за 15 дней, а вторая − за 30 дней. За сколько дней закончат работу эти мастерские, работая вместе, если на переплет каждой книги идет одинаковое время?
б) Бассейн вмещает 3600 $м^3$ воды. Он наполняется двумя трубами, включенными одновременно, за 12 ч, а одной первой трубой − за 20 ч. На сколько быстрее наполнит бассейн одна первая труба, чем одна вторая?

Для решения задач такого типа необходимо использовать знания о совместной работе, скорости выполнения работы и времени. Вот теоретическая часть, которая поможет понять, как решать подобные задачи:

Основные понятия:

1. Производительность работы:
   Производительность работы — это количество работы, которое выполняется за единицу времени. Если мастерская переплетает книги, то производительность можно выразить в книгах за день. Если труба наполняет бассейн, то производительность выражается в объемах воды за час (например, в кубических метрах в час).

2. Совместная работа:
   Если два объекта (например, мастерские или трубы) работают одновременно, их производительности складываются. То есть суммарная производительность — это сумма индивидуальных производительностей.

3. Обратная зависимость времени и производительности:
   Время выполнения работы обратно пропорционально производительности: больше производительность — меньше времени потребуется на выполнение работы, и наоборот.

Формулы:

1. Производительность одного объекта:
   Если объект выполняет работу самостоятельно за $ T $ единиц времени, то его производительность $ P $ равна:
   $$ P = \frac{\text{Объем работы}}{T} $$
   где $ \text{Объем работы} $ — это общее количество выполняемой работы.

2. Совместная производительность:
   Если два объекта работают вместе, их совместная производительность $ P_{\text{совм}} $ равна:
   $$ P_{\text{совм}} = P_1 + P_2 $$
   где $ P_1 $ и $ P_2 $ — производительности каждого объекта.

3. Время выполнения работы совместно:
   Если два объекта работают вместе с общей производительностью $ P_{\text{совм}} $, то время $ T_{\text{совм}} $, которое потребуется для выполнения всей работы, равно:
   $$ T_{\text{совм}} = \frac{\text{Объем работы}}{P_{\text{совм}}} $$

Применение теории к задаче:

Задача а):

1. Определяем производительность каждой мастерской:
   • Первая мастерская переплетает $ 2700 $ книг за $ 15 $ дней.
   • Вторая мастерская переплетает $ 2700 $ книг за $ 30 $ дней.

Производительность первой мастерской:
$$ P_1 = \frac{2700}{15} \,\, (\text{книг/день}) $$

Производительность второй мастерской:
$$ P_2 = \frac{2700}{30} \,\, (\text{книг/день}) $$

1. Совместная производительность:
   $$ P_{\text{совм}} = P_1 + P_2 $$

2. Время работы вместе:
   Используем формулу для времени:
   $$ T_{\text{совм}} = \frac{2700}{P_{\text{совм}}} $$

Задача б):

1. Определяем производительность каждой трубы:
   • Суммарная производительность двух труб вместе: Две трубы наполняют бассейн объемом $ 3600 \, \text{м}^3 $ за $ 12 $ часов. $$ P_{\text{общ}} = \frac{3600}{12} \,\, (\text{м}^3/\text{час}) $$

• Первая труба наполняет бассейн объемом $ 3600 \, \text{м}^3 $ за $ 20 $ часов. $$ P_1 = \frac{3600}{20} \,\, (\text{м}^3/\text{час}) $$

Производительность второй трубы:
$$ P_2 = P_{\text{общ}} - P_1 $$

1. Время заполнения бассейна каждой трубой отдельно:
   • Для первой трубы: $$ T_1 = \frac{3600}{P_1} $$

• Для второй трубы: $$ T_2 = \frac{3600}{P_2} $$

1. Разница времени работы труб: Вычитаем время второй трубы из времени первой: $$ \Delta T = T_2 - T_1 $$

Заключение:

Для решения подобных задач необходимо:
− Найти производительность каждого объекта.
− Сложить производительности для совместной работы.
− Использовать формулу времени, чтобы найти, сколько времени потребуется для выполнения работы совместно или отдельно.