Найди для каждого неравенства множество его решений:
а) x + x ≤ 2;
б) 5 − y < 2;
в) 12 + z ≤ 2.

Для решения данной задачи важно понять, как работать с неравенствами, а затем пошагово проанализировать каждое из данных условий. Прежде чем приступать к решению, следует рассмотреть основные понятия и операции, связанные с неравенствами.

Теоретическая часть для решения задачи

Что такое неравенства?

Неравенства — это математические выражения, в которых значения двух сторон не равны друг другу, а одна сторона больше, меньше, или равна другой. Примеры неравенств:
− $a > b$ — выражение "a больше b";
− $c < d$ — выражение "c меньше d";
− $e \leq f$ — выражение "e меньше либо равно f";
− $g \geq h$ — выражение "g больше либо равно h".

Неравенство может содержать переменные, числа и математические операции. Задача состоит в том, чтобы найти множество значений переменной, которые удовлетворяют данному неравенству.

Основные понятия:

1. Решение неравенства — это значения переменной, которые делают неравенство истинным. Например, если дано $x + 3 \leq 7$, то решение — все значения $x$, которые удовлетворяют данному неравенству.

2. Множество решений — это набор всех значений переменной, которые являются решениями данного неравенства. Например, если для $x > 2$ решения — это $x = 3, 4, 5, \dots$, то множество решений можно записать как $x \in (2, +\infty)$.

Основные операции с неравенствами:

Для решения неравенств используются те же операции, что и для уравнений, но с некоторыми особенностями:
− Сложение/вычитание: Можно прибавлять или вычитать одно и то же число с обеих сторон неравенства, при этом знак неравенства не меняется.
Пример: $x + 3 < 7$ → $x < 7 - 3$ → $x < 4$.

• Умножение/деление на положительное число: Можно умножать или делить обе стороны неравенства на положительное число, при этом знак не меняется.
  Пример: $2x \leq 8$ → $x \leq 8 / 2$ → $x \leq 4$.

• Умножение/деление на отрицательное число: При умножении или делении обеих сторон неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
  Пример: $-3x > 9$ → $x < 9 / -3$ → $x < -3$.

Решение составных неравенств:

Если в неравенстве присутствует более одной переменной или выражение сложного вида, его нужно упростить. Например:
1. Привести подобные слагаемые: $x + x$ → $2x$;
2. Собрать все переменные на одной стороне неравенства, а числа — на другой стороне;
3. Выполнить арифметические операции, чтобы найти решение.

Проверка решения:

После того как неравенство решено, можно проверить несколько значений из множества решений, чтобы убедиться в их правильности. Подставьте эти значения в исходное неравенство и убедитесь, что оно выполняется.

Запись множества решений:

Множество решений можно записывать несколькими способами:
1. Словесный способ: «Все значения переменной $x$, которые меньше 4».
2. Интервальный способ: $x \in (-\infty, 4)$.
3. Способ с использованием неравенства: $x < 4$.

Пример применения теории:

Для каждого из неравенств из задачи:
а) $x + x \leq 2$: объедините $x + x$ в одно выражение, получите $2x \leq 2$, затем разделите обе стороны на 2, чтобы найти решение.
б) $5 - y < 2$: из обеих сторон вычтите 5, чтобы выразить $y$, затем поменяйте знак выражения.
в) $12 + z \leq 2$: из обеих сторон вычтите 12, чтобы получить $z$.