Как изменяется произведение натуральных чисел при увеличении и уменьшении множителей? Как изменяется частное частное натуральных чисел при изменении компонентов деления? Сравни выражения (b, c ≠ 0):
a * 74 ☐ 74 * a;
980 : b ☐ 909 : b;
168 : c ☐ 186 : c;
d : 356 ☐ d : 358;
x * 7 + x * 5 ☐ x * 9 + x;
(m + n) * 3 ☐ m + n * 3.

Для решения и анализа задачи важно понять, как изменяются результаты математических операций (произведение, частное и выражения) при изменении их компонентов. Давайте рассмотрим каждую часть задачи в теоретическом аспекте:

Изменение произведения натуральных чисел

Произведение чисел определяется как результат умножения двух или более множителей. При изменении одного из множителей, произведение изменяется следующим образом:
1. Если один множитель увеличивается, то произведение увеличивается.
2. Если один множитель уменьшается, то произведение уменьшается.

Произведение обладает свойством коммутативности, т.е. выражение $ a \times b $ всегда равно $ b \times a $. Это означает, что порядок множителей не влияет на результат произведения.

Пример: $ 3 \times 4 = 4 \times 3 = 12 $.

Изменение частного натуральных чисел

Частное является результатом деления одного числа на другое. Здесь важно учитывать следующие аспекты:
1. Если делимое увеличивается, при неизменном делителе, частное увеличивается.
2. Если делимое уменьшается, при неизменном делителе, частное уменьшается.
3. Если делитель увеличивается, при неизменном делимом, частное уменьшается.
4. Если делитель уменьшается, при неизменном делимом, частное увеличивается.

При сравнении частных важно учитывать, что делитель никогда не может быть равным нулю ($ b, c ≠ 0 $), так как деление на ноль не имеет смысла.

Пример: $ 20 \div 5 = 4 $, но $ 20 \div 10 = 2 $. Увеличение делителя уменьшило частное.

Сравнение выражений

Для сравнения выражений важно учитывать законы арифметики (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность). Сделаем теоретический анализ каждого сравнения:

1. $ a \times 74 \; ☐ \; 74 \times a $:

   • В умножении действует свойство коммутативности, поэтому $ a \times 74 = 74 \times a $.

2. $ 980 \div b \; ☐ \; 909 \div b $:

   • Если делитель $ b $ одинаков, то сравнение зависит от чисел $ 980 $ и $ 909 $:
   • Если $ 980 > 909 $, то $ 980 \div b > 909 \div b $.
   • Если $ 980 < 909 $, то $ 980 \div b < 909 \div b $.

3. $ 168 \div c \; ☐ \; 186 \div c $:

   • Аналогично предыдущему пункту, если делитель $ c $ одинаков:
   • Если $ 168 < 186 $, то $ 168 \div c < 186 \div c $.
   • Если $ 168 > 186 $, то $ 168 \div c > 186 \div c $.

4. $ d \div 356 \; ☐ \; d \div 358 $:

   • Здесь делимое $ d $ одинаково, но делители разные ($ 356 $ и $ 358 $):
   • Если $ 356 < 358 $, то $ d \div 356 > d \div 358 $, потому что увеличение делителя уменьшает частное.
   • Если $ 356 > 358 $, то $ d \div 356 < d \div 358 $.

5. $ x \times 7 + x \times 5 \; ☐ \; x \times 9 + x $:

   • Можно применить дистрибутивное свойство умножения:
   • $ x \times 7 + x \times 5 = x \times (7 + 5) = x \times 12 $.
   • $ x \times 9 + x = x \times 9 + x \times 1 = x \times (9 + 1) = x \times 10 $.
   • Сравнение зависит от коэффициентов $ 12 $ и $ 10 $, поэтому $ x \times 12 > x \times 10 $, если $ x > 0 $.

6. $ (m + n) \times 3 \; ☐ \; m + n \times 3 $:

   • Раскроем скобки и посмотрим, как выражения упрощаются:
   • $ (m + n) \times 3 = m \times 3 + n \times 3 $.
   • $ m + n \times 3 = m + (n \times 3) $.
   • В первом случае оба числа ($ m $ и $ n $) умножаются на $ 3 $, а во втором только $ n $ умножается на $ 3 $, поэтому $ (m + n) \times 3 > m + n \times 3 $, если $ m > 0 $.

Законы арифметики помогают понять, как изменяются результаты операций при изменении компонентов. Используйте эти принципы для анализа и решения задачи!