Найди объединение множеств натуральных решений неравенств 12 − x ≥ 7 и 3 ≤ y < 8. Построй диаграммы Эйлера−Венна этих множеств.

Для того чтобы решить задачу на объединение множеств натуральных решений двух неравенств и построить диаграммы Эйлера−Венна, важно сначала понять, что собой представляют множества, какие натуральные числа являются их элементами, и как эти множества взаимодействуют. Представим теоретическую часть максимально подробно и пошагово.

1. Основные определения

• Натуральные числа — это числа, используемые при счёте предметов: $ 1, 2, 3, 4, \ldots $. В данной задаче речь идёт только о натуральных числах как решениях. Ноль не входит в множество натуральных чисел.

• Неравенство — математическое выражение, показывающее, что одна величина больше, меньше или равна другой. Пример: $ a \leq b $, $ c > d $.

• Решение неравенства — это такие значения переменной, которые удовлетворяют неравенству.

• Множество — это совокупность объектов, называемых элементами множества. В данной задаче мы определяем множества как решения данных неравенств.

• Объединение множеств — объединение двух множеств $A$ и $B$ обозначается как $A \cup B$. Оно включает все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$. Формально:
  $$ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}. $$

• Диаграммы Эйлера−Венна — это графическое представление множеств и их взаимодействий. Окружности представляют отдельные множества, а их пересечения и объединения показывают, какие элементы принадлежат нескольким множествам.

2. Постановка задачи

У нас есть два неравенства:

1. $12 - x \geq 7$,
2. $3 \leq y < 8$.

Нужно:

1. Найти натуральные решения каждого неравенства и представить их в виде множеств.
2. Найти объединение этих множеств.
3. Построить диаграммы Эйлера−Венна, показывающие, как множества пересекаются.

3. Разбор первого неравенства $12 - x \geq 7$

Построение и анализ

1. Начнём с решения неравенства. Преобразуем его:
   $$ 12 - x \geq 7. $$
   Вычтем $7$ из обеих частей:
   $$ 12 - 7 \geq x. $$
   Упрощаем:
   $$ 5 \geq x \quad \text{или} \quad x \leq 5. $$

2. Рассматриваем только натуральные числа. Натуральные числа, удовлетворяющие $x \leq 5$, — это $1, 2, 3, 4, 5$.

3. Таким образом, множество решений первого неравенства:
   $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\}. $$

4. Разбор второго неравенства $3 \leq y < 8$

Построение и анализ

1. Второе неравенство имеет вид:
   $$ 3 \leq y < 8. $$
   Это означает, что $y$ должно быть больше или равно $3$ и одновременно меньше $8$.

2. Рассматриваем натуральные числа, которые удовлетворяют обоим условиям. Натуральные числа между $3$ и $8$ включительно только слева — это $3, 4, 5, 6, 7$.

3. Таким образом, множество решений второго неравенства:
   $$ B = \{3, 4, 5, 6, 7\}. $$

5. Объединение множеств

Объединение множеств $A$ и $B$ включает все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из них. Формально:
$$ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}. $$

• Из анализа выше:
  $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$,
  $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$.

• Для объединения мы берём все элементы, которые присутствуют хотя бы в одном из множеств:
  $$ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}. $$

6. Построение диаграмм Эйлера−Венна

Чтобы визуализировать эту задачу, используем два круга, пересекающихся друг с другом:

1. Один круг представляет множество $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
2. Другой круг представляет множество $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$.
3. Пересечение кругов показывает общие элементы: $A \cap B = \{3, 4, 5\}$. Эти элементы принадлежат обоим множествам.
4. Внешние части кругов включают элементы, которые принадлежат только одному из множеств.

На диаграмме:

• Элементы $1, 2$ находятся только в круге $A$.
• Элементы $6, 7$ находятся только в круге $B$.
• Элементы $3, 4, 5$ находятся в пересечении обоих кругов.

Итак, в теоретической части разобраны ключевые понятия, решения неравенств, объединение множеств, и описано построение диаграмм.