Найди пересечение множеств натуральных решений неравенств 7 < x ≤ 12 и 0 ≤ y − 5 < 6. Построй диаграммы Эйлера−Венна этих множеств.

Чтобы решить задачу, необходимо понять теоретическую основу, которая включает работу с множествами, системой неравенств, а также построение диаграммы Эйлера−Венна.

Теоретическая часть

1. Множества и их пересечение

Множество — это совокупность объектов, которые удовлетворяют определенному условию. В математике объекты, входящие в множество, называются элементами множества. Для обозначения множеств используются фигурные скобки {}, например, $ A = \{ 1, 2, 3 \} $.

Пересечением двух множеств $ A $ и $ B $ называют множество всех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству $ A $, и множеству $ B $. Пересечение обозначается символом $ \cap $, то есть:
$$ A \cap B = \{ x \ |\ x \in A \text{ и } x \in B \}. $$

2. Натуральные числа

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета и начинаются с единицы. Множество натуральных чисел можно обозначить как $ \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, \dots \} $.

3. Решение неравенств

Неравенство — это математическое выражение, которое показывает порядок двух чисел. Пример: $ 7 < x \leq 12 $. Решение неравенства — это такие значения переменной, которые делают неравенство истинным.

Решение первого неравенства $ 7 < x \leq 12 $:

Неравенство $ 7 < x \leq 12 $ состоит из двух условий:
1. $ x > 7 $ — переменная $ x $ должна быть строго больше 7.
2. $ x \leq 12 $ — переменная $ x $ должна быть меньше или равна 12.

Таким образом, искомые значения $ x $ — это натуральные числа, которые одновременно больше 7 и меньше или равны 12. Натуральными числами удовлетворяющими данным условиям будут:
$$ x \in \{8, 9, 10, 11, 12\}. $$

Решение второго неравенства $ 0 \leq y - 5 < 6 $:

Неравенство $ 0 \leq y - 5 < 6 $ также состоит из двух условий:
1. $ y - 5 \geq 0 $ — число $ y - 5 $ должно быть больше или равно нулю.
2. $ y - 5 < 6 $ — число $ y - 5 $ должно быть строго меньше 6.

Чтобы найти $ y $, прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:
$$ 0 + 5 \leq y < 6 + 5. $$
$$ 5 \leq y < 11. $$
Таким образом, искомые значения $ y $ — это натуральные числа, которые одновременно больше или равны 5 и строго меньше 11. Натуральными числами, удовлетворяющими данным условиям, будут:
$$ y \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}. $$

4. Построение диаграммы Эйлера−Венна

Диаграммы Эйлера−Венна используются для наглядного представления отношений между множествами. В задаче два множества:
1. Множество $ A $, которое состоит из натуральных чисел, удовлетворяющих первому неравенству $ 7 < x \leq 12 $: $ A = \{8, 9, 10, 11, 12\} $.
2. Множество $ B $, которое состоит из натуральных чисел, удовлетворяющих второму неравенству $ 5 \leq y < 11 $: $ B = \{5, 6, 7, 8, 9, 10\} $.

Для построения диаграммы:
− Нарисуйте два пересекающихся круга, где один круг представляет множество $ A $, а другой множество $ B $.
− В области пересечения кругов располагаются элементы, которые принадлежат обоим множествам $ A $ и $ B $ (пересечение $ A \cap B $).
− В области, которая принадлежит только кругу $ A $, но не $ B $, располагаются элементы множества $ A $, которые не принадлежат $ B $.
− В области, которая принадлежит только кругу $ B $, но не $ A $, располагаются элементы множества $ B $, которые не принадлежат $ A $.

5. Пересечение множеств $ A \cap B $

Для нахождения пересечения чисел между двумя множествами нужно определить элементы, которые входят как в множество $ A $, так и в множество $ B $. Это можно сделать сравнением списков чисел из каждого множества.

Пересечение — это множество чисел, которые находятся одновременно в обеих множественных группах.

Вывод

На основании теоретической части, мы можем:
1. Определить решения каждого неравенства.
2. Найти пересечение множеств решений.
3. Построить диаграмму Эйлера−Венна, распределяя числа между областями.