Длина прямоугольного параллелепипеда равна 5 дм, ширина на 8 см меньше длины, а высота составляет $\frac{5}{7}$ ширины. Найди объем и площадь поверхности этого прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы решить задачу о нахождении объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо воспользоваться основными формулами и понять, как связаны между собой длина, ширина и высота фигуры. Разберем теоретическую часть задачи.

1. Прямоугольный параллелепипед: основные понятия

Прямоугольный параллелепипед – это пространственная фигура, у которой шесть граней являются прямоугольниками. У него три размера: длина, ширина и высота. Эти размеры определяют геометрические свойства параллелепипеда, такие как объем и площадь поверхности.

2. Формула для объема прямоугольного параллелепипеда

Объем $ V $ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$$ V = a \cdot b \cdot h, $$

где:
− $ a $ – длина,
− $ b $ – ширина,
− $ h $ – высота.

Из этой формулы видно, что для нахождения объема нужно знать все три линейных размера.

3. Формула для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Площадь поверхности $ S $ вычисляется как сумма площадей всех шести граней фигуры. Поскольку противоположные грани параллелепипеда одинаковы, формула для площади поверхности имеет следующий вид:

$$ S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot h + a \cdot h), $$

где:
− $ a \cdot b $ – площадь основания,
− $ b \cdot h $ и $ a \cdot h $ – площади боковых граней.

4. Связи между размерами параллелепипеда

В задаче даны следующие условия:
− длина $ a $ равна $ 5 \, \text{дм}$,
− ширина $ b $ меньше длины на $ 8 \, \text{см}$,
− высота $ h $ составляет $\frac{5}{7}$ ширины.

Чтобы найти ширину и высоту, необходимо учесть, что все размеры должны быть приведены к одной единице измерения. Например, можно выразить длину, ширину и высоту в дециметрах. Напомним, что $ 1 \, \text{дм} = 10 \, \text{см} $.

Преобразования:

Если длина $ a = 5 \, \text{дм}$, то ширина $ b $ будет:
$$ b = a - \frac{8}{10} \, \text{дм}, $$
поскольку $ 8 \, \text{см} = 0{,}8 \, \text{дм} $.

Высота $ h $, которая составляет $\frac{5}{7}$ ширины, определяется как:
$$ h = \frac{5}{7} \cdot b. $$

5. Подстановка значений в формулы

После нахождения численных значений ширины $ b $ и высоты $ h $, можно подставить их в формулы для объема и площади поверхности:

Объем:

$$ V = a \cdot b \cdot h. $$

Площадь поверхности:

$$ S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot h + a \cdot h). $$

6. Последовательность действий:

1. Преобразовать все размеры в одну единицу измерения.
2. Вычислить ширину $ b $ и высоту $ h $.
3. Подставить найденные размеры в формулы для объема и площади поверхности.
4. Выполнить все необходимые вычисления.

7. Единицы измерения

Важно помнить, что объем будет выражен в кубических единицах (например, $ \text{дм}^3 $), а площадь поверхности – в квадратных единицах (например, $ \text{дм}^2 $).

Этот теоретический подход поможет успешно решить задачу!