Сравни выражения (k ≠ 0):
a + 45 ☐ 98 + a;
b − 24 ☐ b − 59;
195 − c ☐ 207 − c;
17 * d ☐ d * 71;
144 : k ☐ 130 : k;
t : 32 ☐ t : 15;
a − (b + c) ☐ a − b + c;
(x + y) * 3 ☐ x + y * 3;
(m + n) : 5 ☐ m : 5 + n.

Для решения задачи на сравнение выражений нужно использовать математические законы и свойства арифметических действий. В этой теоретической части мы подробно рассмотрим каждый тип операций, которые встречаются в задаче, включая сложение, вычитание, умножение и деление, а также разберем особенности работы с выражениями, содержащими скобки.

1. Сложение и вычитание

Сложение и вычитание чисел подчиняются определенным свойствам:

• Коммутативность сложения: $ a + b = b + a $. Порядок слагаемых не влияет на результат.
• Ассоциативность сложения: $ (a + b) + c = a + (b + c) $. Скобки при сложении можно переставлять.
• Свойства вычитания:
  • Вычитание не является коммутативным: $ a - b \neq b - a $ (если $ a \neq b $).
  • При вычитании порядок чисел имеет значение.

Когда выражения содержат одинаковые переменные или числа, их сравнение требует анализа их структуры. Например:
− $ a + 45 $ и $ 98 + a $ отличаются лишь порядком сложения. Согласно свойству коммутативности, результат сложения будет одинаковым, поэтому $ a + 45 = 98 + a $.
− Однако, выражения $ b - 24 $ и $ b - 59 $ зависят от того, насколько уменьшается значение $ b $. Здесь нужно обратить внимание на то, что разница между двумя числами влияет на результат вычитания.

2. Умножение

Свойства умножения:
− Коммутативность умножения: $ a \times b = b \times a $. Порядок множителей не влияет на результат.
− Ассоциативность умножения: $ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $. Скобки можно переставлять.

Пример: $ 17 \times d $ и $ d \times 71 $ дают одинаковый результат, поскольку умножение коммутативно. Значит, $ 17 \times d = d \times 71 $.

3. Деление

Свойства деления:
− Деление не является коммутативным: $ a : b \neq b : a $ (если $ a \neq b $).
− Деление одного и того же числа на разные делители дает разные результаты. Например, $ 144 : k $ и $ 130 : k $ следует сравнивать, учитывая, что делимое и делитель влияют на частное.

Особенности выражений с делением:
− Если два числа делятся на одно и то же число ($ k \neq 0 $), их результаты зависят от величины чисел. Например, $ t : 32 $ и $ t : 15 $ дают разные результаты, так как делители $ 32 $ и $ 15 $ различны.

4. Скобки в выражениях

Скобки изменяют порядок выполнения операций. Согласно правилам приоритетов:
− Операции внутри скобок выполняются первыми.
− Умножение и деление имеют приоритет над сложением и вычитанием.

Примеры:
− В выражении $ a - (b + c) $ сначала выполняется сложение $ b + c $, а затем вычитание результата из $ a $.
− В выражении $ a - b + c $, операции выполняются в порядке слева направо: сначала $ a - b $, затем прибавляется $ c $. Поэтому $ a - (b + c) \neq a - b + c $.

5. Умножение и сложение в одном выражении

Когда сложение и умножение встречаются в одном выражении, важно учитывать приоритетность операций:
− Умножение выполняется перед сложением.
− Если есть скобки, приоритет операций определяется скобками.

Пример:
− В выражении $ (x + y) * 3 $ сначала выполняется сложение $ x + y $, а затем результат умножается на $ 3 $.
− В выражении $ x + y * 3 $ сначала выполняется умножение $ y * 3 $, а затем результат прибавляется к $ x $.

6. Деление и сложение в одном выражении

Когда деление и сложение встречаются в одном выражении, приоритет операций также важен:
− Деление выполняется перед сложением.
− Скобки могут изменить порядок выполнения операций.

Пример:
− В выражении $ (m + n) : 5 $ сначала выполняется сложение $ m + n $, а затем результат делится на $ 5 $.
− В выражении $ m : 5 + n $, сначала выполняется деление $ m : 5 $, а затем прибавляется $ n $.

Общий подход к решению задач на сравнение выражений
1. Убедитесь, что понимаете законы арифметических операций.
2. Внимательно изучите каждое выражение, обращая внимание на порядок выполнения операций.
3. Используйте свойства операций (коммутативность, ассоциативность) для упрощения или сравнения.
4. Если выражения содержат переменные, рассмотрите их структуру, чтобы понять, как изменения значений переменных влияют на результат.
5. Если возникают выражения с разными приоритетами операций, выполняйте действия строго по правилам.

Сравнение выражений требует внимательного анализа их структуры и применения математических законов.