а) Как изменится сумма, если первое слагаемое увеличить на 12, а второе уменьшить на 8?
б) Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшить на 3, а вычитаемое увеличить на 5?
в) Как изменится произведение, если первый множитель увеличить в 6 раз, а второй уменьшить в 3 раза?
г) Как изменится частное, если делимое увеличить в 8 раз, а делитель уменьшить в 4 раза?

Для решения этих задач важно понимать основные математические операции: сложение, вычитание, умножение и деление, а также то, как изменения в отдельных компонентах операции влияют на результат. Рассмотрим каждую задачу отдельно:

а) Как изменится сумма, если первое слагаемое увеличить на 12, а второе уменьшить на 8?

Сумма двух чисел определяется как $ a + b $, где $ a $ и $ b $ — слагаемые. Если первое слагаемое увеличивается на 12, то оно становится $ a + 12 $. Если второе слагаемое уменьшается на 8, то оно становится $ b - 8 $. Новая сумма будет равна:
$$ (a + 12) + (b - 8). $$
Чтобы понять, как изменилась сумма, сравним новую сумму с исходной:
$$ (a + 12) + (b - 8) - (a + b). $$
Упростим выражение:
$$ a + 12 + b - 8 - a - b. $$
Сократим одинаковые компоненты $ a $ и $ b $:
$$ 12 - 8. $$
Таким образом, сумма изменится на $ 12 - 8 $, то есть на 4.

б) Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшить на 3, а вычитаемое увеличить на 5?

Разность чисел определяется как $ a - b $, где $ a $ — уменьшаемое, $ b $ — вычитаемое. Если уменьшаемое уменьшается на 3, оно становится $ a - 3 $. Если вычитаемое увеличивается на 5, оно становится $ b + 5 $. Новая разность будет равна:
$$ (a - 3) - (b + 5). $$
Чтобы понять, как изменилась разность, сравним новую разность с исходной:
$$ (a - 3) - (b + 5) - (a - b). $$
Упростим выражение:
$$ a - 3 - b - 5 - a + b. $$
Сократим одинаковые компоненты $ a $ и $ b $:
$$ -3 - 5. $$
Таким образом, разность изменится на $ -3 - 5 $, то есть на −8.

в) Как изменится произведение, если первый множитель увеличить в 6 раз, а второй уменьшить в 3 раза?

Произведение двух чисел определяется как $ a \cdot b $, где $ a $ и $ b $ — множители. Если первый множитель увеличивается в 6 раз, он становится $ 6a $. Если второй множитель уменьшается в 3 раза, он становится $ \frac{b}{3} $. Новое произведение будет равно:
$$ (6a) \cdot \left(\frac{b}{3}\right). $$
Чтобы понять, как изменилась произведение, сравним новое произведение с исходным:
$$ (6a) \cdot \left(\frac{b}{3}\right) : (a \cdot b). $$
Упростим выражение:
$$ \frac{6}{3} \cdot a \cdot b = 2 \cdot (a \cdot b). $$
Таким образом, произведение увеличится в 2 раза.

г) Как изменится частное, если делимое увеличить в 8 раз, а делитель уменьшить в 4 раза?

Частное двух чисел определяется как $ \frac{a}{b} $, где $ a $ — делимое, $ b $ — делитель. Если делимое увеличивается в 8 раз, оно становится $ 8a $. Если делитель уменьшается в 4 раза, оно становится $ \frac{b}{4} $. Новое частное будет равно:
$$ \frac{8a}{\frac{b}{4}}. $$
Чтобы понять, как изменилась частное, сравним новое частное с исходным:
$$ \frac{8a}{\frac{b}{4}} : \frac{a}{b}. $$
Упростим выражение, используя правило деления дробей:
$$ \frac{8a \cdot 4}{b} : \frac{a}{b}. $$
Сократим $ b $:
$$ \frac{32a}{b} : \frac{a}{b}. $$
Разделим $ \frac{32a}{b} $ на $ \frac{a}{b} $:
$$ 32. $$
Таким образом, частное увеличится в 32 раза.

Каждое из описанных изменений можно подробно проанализировать, используя свойства математических операций.