Найди произведение всех натуральных решений неравенства:
$\frac{975 * 708 - 23549}{338744 : 6049} ≤ x < \frac{8049 * 4003 - 23883847}{296100 : 423}$.

Чтобы разобраться с данной задачей, давайте подробно разберем теоретический аспект, который поможет понять, как решать такие задачи.

Теоретическая база

1. Преобразование выражений с дробями и целыми числами

В математике часто встречаются выражения, где необходимо проводить операции с дробями, умножением, делением, сложением и вычитанием. Для упрощения выражений обычно начинают с выполнения операций в числителе и знаменателе отдельно, следуя приоритету арифметических действий:
1. Сначала выполняются операции в скобках.
2. Затем выполняются умножение и деление (слева направо).
3. После этого выполняются сложение и вычитание (слева направо).

2. Сравнение чисел, содержащих дроби

Когда в математическом выражении присутствуют дроби, важно правильно проводить вычисления числителя и знаменателя. После упрощения дробей результат сравнивается с другим числом, чтобы определить диапазон значений.

3. Неравенства

Неравенства бывают нескольких типов: $ < $, $ \leq $, $ > $, $ \geq $. Чтобы найти решения неравенства, нужно:
− Упростить выражение.
− Определить диапазон значений, которые удовлетворяют неравенству.
− Если неравенство задает диапазон допустимых значений, необходимо определить все целые числа, которые попадают в этот диапазон.

4. Натуральные числа

Натуральные числа — это положительные целые числа, начиная с $ 1 $: $ \{ 1, 2, 3, 4, \dots \} $. Задача требует найти произведение всех натуральных решений неравенства, то есть всех натуральных чисел, попадающих в диапазон, заданный данным неравенством.

5. Упрощение выражений с большими числами

Если в задаче встречаются большие числа и сложные выражения, удобно разложить выражение на этапы и выполнять арифметические операции постепенно. Например:
− Для выражения $ \text{число} \div \text{другое число} $, сначала выполняют деление, при необходимости округляют результат до целого числа.
− Для выражения $ \text{число} \times \text{другое число} $, сначала выполняют умножение.

6. Произведение чисел

Произведение чисел — это результат умножения этих чисел. Например, если нужно найти произведение всех натуральных чисел от $ a $ до $ b $ включительно, где $ a \leq b $, то это можно записать как:
$$ P = a \cdot (a+1) \cdot (a+2) \cdot \dots \cdot b. $$
Для подсчёта произведения можно использовать свойства факториала ($ n! $): если диапазон чисел большой, произведение чисел от $ a $ до $ b $ можно выразить через факториал:
$$ P = \frac{b!}{(a-1)!}. $$

7. Порядок решения задачи

Для решения задачи требуется:
− Вычислить числитель и знаменатель каждого выражения в неравенстве.
− Найти границы диапазона $ x $ — минимальное и максимальное значения.
− Определить все натуральные числа, которые попадают в этот диапазон.
− Найти произведение этих чисел.

Пример упрощения

Если у вас есть выражение вида:
$$ \frac{A \cdot B - C}{D : E}, $$
то упрощение выполняется так:
1. Сначала вычисляют $ A \cdot B $.
2. Затем находят $ D : E $.
3. Выполняют вычитание $ (A \cdot B - C) $.
4. Делят результат на $ D : E $.

Работа с диапазоном

Если после упрощения выражений получится диапазон вида:
$$ a \leq x < b, $$
то натуральными числами, удовлетворяющими этому диапазону, будут числа $ a, a+1, \dots, b-1 $, при условии, что $ a $ и $ b-1 $ — натуральные числа.

Задача

Теперь вы готовы к расчету каждого выражения отдельно, упрощению неравенства и нахождению натуральных решений. После этого останется найти произведение всех чисел в диапазоне.