Из Москвы и Ленинграда одновременно навстречу друг другу выехали два поезда − пассажирский и товарный. Через 3 ч расстояние между ними уменьшилось до 230 км. Какова скорость товарного поезда, если пассажирский поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а расстояние от Москвы до Ленинграда равно 650 км?

Для решения задачи важно понять, как устроены движения поездов и как можно использовать данные условия, чтобы найти скорость товарного поезда.

1. Введение в задачу движения:
   Задача о движении двух объектов навстречу друг другу основывается на том, что расстояние между ними уменьшается за счёт суммарного их движения относительно друг друга. Если два объекта начинают движение из разных точек навстречу друг другу, то их общее сокращение расстояния за определённое время равно сумме расстояний, пройденных каждым из них за это время. Эта идея лежит в основе решения задачи.

2. Основная формула движения:
   Формула, описывающая движение, выглядит так:
   $$ S = v \cdot t, $$
   где:

   • $S$ — расстояние, пройденное объектом,
   • $v$ — скорость объекта,
   • $t$ — время движения.

В задаче участвуют два поезда: пассажирский и товарный. Каждый из них движется определённое время со своей скоростью.

1. Скорости поездов:

   • Скорость пассажирского поезда известна: $v_{\text{пасс}} = 80 \, \text{км/ч}$.
   • Скорость товарного поезда $v_{\text{тов}}$ нам нужно найти.

2. Начальное расстояние между поездами:
   В задаче сказано, что расстояние между Москвой и Ленинградом составляет $650 \, \text{км}$. Это начальная точка, с которой мы начинаем расчёты.

3. Конечное расстояние между поездами:
   Через 3 часа после начала движения расстояние между поездами уменьшилось до $230 \, \text{км}$. Это означает, что за 3 часа поезда вместе прошли такое расстояние, которое сократило начальное расстояние между ними на $650 - 230 = 420 \, \text{км}$.

4. Совместное уменьшение расстояния:
   Поскольку оба поезда движутся одновременно и навстречу друг другу, их скорости складываются в процессе сокращения расстояния. За 3 часа общее сокращение расстояния между ними составило $420 \, \text{км}$. Зная, что сокращение расстояния равно сумме расстояний, пройденных каждым поездом, можно записать:
   $$ v_{\text{пасс}} \cdot t + v_{\text{тов}} \cdot t = 420. $$

5. Подстановка данных:

   • Время движения обоих поездов $t = 3 \, \text{ч}$,
   • $v_{\text{пасс}} = 80 \, \text{км/ч}$,
   • $v_{\text{тов}}$ — неизвестная скорость товарного поезда.

Подставляя данные в формулу, получаем:
$$ 80 \cdot 3 + v_{\text{тов}} \cdot 3 = 420. $$

1. Переход к единственному неизвестному: Уравнение можно упростить, выделив $v_{\text{тов}}$. Решение уравнения позволит найти искомую скорость товарного поезда.

Таким образом, задача сводится к решению линейного уравнения и нахождению скорости товарного поезда.