Построй в тетради координатный угол и выполни предыдущее задание для точек A(1;1), B(8;2) и C(9;9). Какие гипотезы можно вывести из проведенного исследования? Докажи, что наблюдаемая закономерность не выполняется для прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

Для решения задачи нужно понимать несколько ключевых математических понятий и правил. В данной задаче речь идет о координатной плоскости, точках с заданными координатами, а также о треугольниках и их свойствах. Рассмотрим все необходимые теоретические аспекты, чтобы успешно выполнить задание.

1. Координатный угол Координатный угол — это четверть координатной плоскости, ограниченная двумя взаимно перпендикулярными прямыми, которые называют осями координат. Одна из осей называется горизонтальной — ось $x$ (абсцисс), а другая вертикальной — ось $y$ (ординат). Точка пересечения осей — начало координат, обозначается как $O(0;0)$. Координаты каждой точки на плоскости задаются парой чисел $(x; y)$, где:
   • $x$ — расстояние от точки до оси $y$ (абсцисса),
   • $y$ — расстояние от точки до оси $x$ (ордината).

Чтобы построить точки $A(1;1)$, $B(8;2)$, $C(9;9)$, нужно:
− Отложить значение $x$ на горизонтальной оси и $y$ на вертикальной.
− Поставить точку в месте пересечения соответствующих значений $x$ и $y$.

1. Рассмотрение треугольника на координатной плоскости
   При соединении точек $A(1;1)$, $B(8;2)$, $C(9;9)$, образуется треугольник. Чтобы изучить его свойства, нужно рассчитать длины его сторон. Длины сторон в координатной геометрии вычисляются с помощью формулы расстояния между двумя точками:
   $$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, $$
   где $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — координаты двух точек.

2. Закономерности в треугольниках
   Треугольники можно классифицировать по углам (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные) и по сторонам (равносторонние, равнобедренные, разносторонние). Для определения типа треугольника нужно:

   • Вычислить длины всех сторон.
   • Проверить, есть ли среди углов прямой угол. Прямой угол выполняется, если квадрат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон ($c^2 = a^2 + b^2$) — это теорема Пифагора.

3. Прямоугольный треугольник и его особенности
   Прямоугольный треугольник обладает одним прямым углом ($90^\circ$). Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона — гипотенузой. В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:
   $$ c^2 = a^2 + b^2, $$
   где $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты.

Для прямоугольного треугольника с катетами длиной 5 см и 12 см можно найти гипотенузу:
$$ c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}. $$
Таким образом, треугольник точно является прямоугольным.

1. Проверка закономерностей
   Для проверки любой гипотезы или закономерности важно следовать таким этапам:

   • Вычислить значения, связанные с данной гипотезой (например, длины сторон, углы треугольника).
   • Сравнить эти значения с условиями гипотезы.
   • Если гипотеза выполняется для всех случаев, она считается правильной. Если хотя бы для одного случая гипотеза не выполняется, она опровергается.

2. Заключение
   При исследовании треугольника, построенного на координатной плоскости, можно сделать выводы о его свойствах, типе (например, прямоугольный, остроугольный, равносторонний и т. д.) и закономерностях, которые связаны с ним. Сравнение треугольников (например, построенного на координатной плоскости и заданного прямоугольного) помогает проверить гипотезу.