а) Построй треугольник ABC, если A(1;2), B(3;8), C(9;6).
б) Измерь стороны и углы треугольника ABC. Что ты замечаешь?
AB = ;
BC = ;
AC = ;
∠A = ;
∠B = ;
∠C = .
в) Отметь на стороне AC точку M с абсциссой 5. Запиши координаты этой точки. В чем особенность ее расположения на стороне AC?
M(5; )
г) Проведи луч BM. Проверь с помощь транспортира, является ли он биссектрисой угла B? Что интересного в расположении луча BM и отрезка AC?

Чтобы решить задачу, нужно понимать основную теорию декартовой системы координат, методы расчета расстояний между точками, вычисление углов и определение биссектрис.

Декартовая система координат

Декартовая система координат — это способ представления точек на плоскости с помощью пары чисел, абсциссы (x) и ординаты (y). На графике абсцисса откладывается по горизонтальной оси (x), а ордината — по вертикальной оси (y). Точка имеет координаты вида $ (x; y) $, где $ x $ — значение по горизонтальной оси, а $ y $ — по вертикальной.

В треугольнике $ ABC $, точки $ A(1; 2) $, $ B(3; 8) $, $ C(9; 6) $ означают, что:
− Точка $ A $ имеет абсциссу 1 и ординату 2.
− Точка $ B $ имеет абсциссу 3 и ординату 8.
− Точка $ C $ имеет абсциссу 9 и ординату 6.

Формула расстояния между двумя точками на плоскости

Чтобы найти длину стороны треугольника, нужно рассчитать расстояние между двумя его вершинами. Формула расстояния между точками $ P_1(x_1; y_1) $ и $ P_2(x_2; y_2) $:

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Эта формула основана на теореме Пифагора. Разность координат по оси $ x $ ($ x_2 - x_1 $) и оси $ y $ ($ y_2 - y_1 $) образует катеты прямоугольного треугольника, а $ d $ — его гипотенузу.

Измерение углов треугольника

Для измерения углов треугольника $ ABC $, нужно знать:
1. Косинус угла: Угол можно определить с помощью косинуса. Формула косинуса угла между двумя векторами $ \mathbf{u} $ и $ \mathbf{v} $:
$$ \cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|} $$
где:
− $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $ — скалярное произведение векторов,
− $ \|\mathbf{u}\| $ и $ \|\mathbf{v}\| $ — длины векторов.
2. Углы можно измерить также с помощью транспортира, если выполнено графическое построение.

Определение точки на отрезке

Если задана точка $ M $ с абсциссой $ x = 5 $, принадлежность этой точки стороне $ AC $ можно проверить, если её ордината $ y $ соответствует уравнению прямой, которая соединяет точки $ A $ и $ C $. Уравнение прямой между двумя точками $ A(x_1; y_1) $ и $ C(x_2; y_2) $:

$$ y = kx + b $$

где:
− $ k $ — наклон прямой (коэффициент углового наклона),
$$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$
− $ b $ — свободный член, вычисляется как:
$$ b = y_1 - kx_1 $$

Подставив абсциссу $ x = 5 $, можно найти ординату $ y $.

Биссектриса угла

Биссектриса — это луч, который делит угол на две равные части. Чтобы проверить, является ли $ BM $ биссектрисой угла $ B $, нужно:
1. Убедиться, что угол между сторонами $ AB $ и $ BM $ равен углу между сторонами $ BM $ и $ BC $. Это можно сделать с помощью транспортира.
2. Аналитически проверить, совпадают ли угловые коэффициенты для деления угла.

Отношение луча $ BM $ и отрезка $ AC $

Важным свойством биссектрисы является её отношение к противоположной стороне треугольника. В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные длинам прилежащих сторон.