Найди пересечение и объединение множеств решений двух неравенств: 3 < x ≤ 7 и 5 ≤ x ≤ 9.

Чтобы понять, как найти пересечение и объединение множеств решений двух неравенств, необходимо подробно разобрать каждый шаг процесса. Мы будем работать с двумя неравенствами:

1. $ 3 < x \leq 7 $
2. $ 5 \leq x \leq 9 $

Понятие множества решений неравенств:

Каждое из данных неравенств задаёт своё множество решений, то есть множество всех чисел $ x $, которые удовлетворяют указанным условиям. Мы определим решения каждого неравенства в виде промежутков, после чего проанализируем их пересечение и объединение.

Рассмотрение первого неравенства $ 3 < x \leq 7 $:

• $ 3 < x $: это значит, что $ x $ строго больше $ 3 $. Число $ 3 $ само не включается в множество решений.
• $ x \leq 7 $: это значит, что $ x $ меньше либо равно $ 7 $. Число $ 7 $ включается в множество решений.

Таким образом, множество решений данного неравенства — это промежуток от числа $ 3 $, не включая его, до числа $ 7 $, включая его. На числовой прямой это записывается как:
$$ (3, 7]. $$

Рассмотрение второго неравенства $ 5 \leq x \leq 9 $:

• $ 5 \leq x $: это значит, что $ x $ больше или равно $ 5 $. Число $ 5 $ включается в множество решений.
• $ x \leq 9 $: это значит, что $ x $ меньше либо равно $ 9 $. Число $ 9 $ включается в множество решений.

Таким образом, множество решений данного неравенства — это промежуток от числа $ 5 $, включая его, до числа $ 9 $, включая его. На числовой прямой это записывается как:
$$ [5, 9]. $$

Пересечение множеств:

Пересечение двух множеств — это множество всех элементов, которые одновременно принадлежат обоим множествам. Чтобы найти пересечение промежутков $ (3, 7] $ и $ [5, 9] $, нужно определить, какие числа входят одновременно в оба промежутка.

• Промежуток $ (3, 7] $ включает числа от $ 3 $ (исключительно) до $ 7 $ (включительно).
• Промежуток $ [5, 9] $ включает числа от $ 5 $ (включительно) до $ 9 $ (включительно).

Общий участок (пересечение) этих двух промежутков — это числа, которые начинаются с $ 5 $ (включительно, так как $ 5 $ входит в оба множества) и заканчиваются $ 7 $ (включительно, так как $ 7 $ также входит в оба множества). Пересечением будет промежуток:
$$ [5, 7]. $$

Объединение множеств:

Объединение двух множеств — это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Это значит, что нужно объединить все числа из промежутков $ (3, 7] $ и $ [5, 9] $.

• Промежуток $ (3, 7] $ включает числа от $ 3 $ (исключительно) до $ 7 $ (включительно).
• Промежуток $ [5, 9] $ включает числа от $ 5 $ (включительно) до $ 9 $ (включительно).

Объединяя эти промежутки, мы получаем все числа от $ 3 $ (исключительно) до $ 9 $ (включительно). Таким образом, объединением будет промежуток:
$$ (3, 9]. $$

Итоги:

• Пересечение множеств решений: $ [5, 7] $.
• Объединение множеств решений: $ (3, 9] $.

На этом теоретическая часть задачи завершена.