Как быстро вычислить:
а) 1 + 3 + 5 + ... + 995 + 997 + 999;
б) 99 − 97 + 95 − 93 + 91 − 89 + ... + 7 − 5 + 3 − 1?

Чтобы эффективно вычислять суммы чисел, представленную в задаче, важно понимать основные математические закономерности и методы работы с последовательностями. Здесь приведены теоретические принципы, которые можно применить для анализа задачи.

Четность и арифметическая прогрессия

Для обеих частей задачи используются последовательности чисел, которые можно рассматривать как арифметические прогрессии. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одно и то же значение, называемое разностью прогрессии.

а) Последовательность 1 + 3 + 5 + ... + 999

1. Тип последовательности:
   В данной части задачи представлена последовательность нечетных чисел, начиная с 1 и заканчивая 999.

2. Свойства нечетных чисел:
   Нечетные числа — это числа, которые не делятся на 2 без остатка (например, 1, 3, 5, ...). Каждое следующее нечетное число увеличивается на 2.

3. Арифметическая прогрессия:
   Последовательность 1, 3, 5, ..., 999 — это арифметическая прогрессия с начальным членом $ a_1 = 1 $ и разностью $ d = 2 $.

4. Общее количество членов:
   Для нахождения количества членов $ n $ в арифметической прогрессии, можно использовать формулу общего члена прогрессии:
   $$ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d $$
   где $ a_n $ — последний член, $ a_1 $ — первый член, $ n $ — количество членов, $ d $ — разность.

Подставляем $ a_n = 999 $, $ a_1 = 1 $, $ d = 2 $, чтобы найти $ n $:
$$ 999 = 1 + (n-1) \cdot 2 $$

1. Сумма членов арифметической прогрессии: Сумму членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: $$ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) $$ где $ S_n $ — сумма, $ n $ — количество членов, $ a_1 $ — первый член, $ a_n $ — последний член.

б) Последовательность 99 − 97 + 95 − 93 + ... + 3 − 1

1. Тип последовательности:
   Здесь также представлена арифметическая прогрессия, но с чередованием знаков (плюс и минус).

2. Разделение на группы:
   Заметим, что последовательность можно разбить на пары чисел, которые имеют вид:
   $$ (99 - 97) + (95 - 93) + ... + (3 - 1) $$
   Каждая пара состоит из двух чисел, которые вычитаются друг из друга.

3. Вычисление каждой пары:
   Разность в каждой паре равна постоянной величине $ 2 $, так как разность между соседними членами последовательности равна 2.

4. Количество пар:
   Чтобы найти количество пар, нужно использовать формулу для общего числа членов последовательности.

5. Сумма пар:
   После нахождения количества пар, результат можно вычислить как произведение количества пар на разность в каждой паре:
   $$ S = (\text{количество пар}) \cdot (\text{разность в паре}) $$

Заключение

Используя эти теоретические методы, можно эффективно вычислить сумму чисел в обеих частях задачи, не прибегая к сложным и длительным вычислениям.