а) Периметр треугольника равен $24\frac{3}{4}$ см. Одна его сторона равна $7\frac{1}{4}$ см, а вторая на $3\frac{3}{4}$ см больше первой. Найди длину третьей стороны.
б) Одна сторона четырехугольника равна $8\frac{2}{5}$ см, что на $3\frac{4}{5}$ см меньше второй стороны. Третья сторона на $6\frac{4}{5}$ см меньше суммы первых двух сторон, а четвертая сторона на $1\frac{1}{5}$ см больше третьей стороны. Найди периметр четырехугольника.

Для решения задачи необходимо понимать понятие периметра, а также уметь работать с обыкновенными дробями и выполнять арифметические операции. Вот теоретическая часть:

Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. Чтобы найти периметр фигуры, нужно сложить длины всех её сторон. Если известен периметр и длины некоторых сторон фигуры, то можно вычислить длину неизвестной стороны или сторон путём вычитания из периметра суммы длин известных сторон.

Обыкновенные дроби — это числа, которые представляются в виде $\frac{a}{b}$, где $a$ — это числитель, а $b$ — знаменатель. Для выполнения операций с дробями нужно понимать следующие правила:

1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

   • Если знаменатели одинаковы, то складывают или вычитают числители, а знаменатель остается неизменным.
   • Например: $$ \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3+2}{5} = \frac{5}{5} = 1 $$

2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями:

   • Если знаменатели различны, то сначала приводят дроби к общему знаменателю, а затем выполняют операцию сложения или вычитания.
   • Пример: $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $$

3. Умножение дробей:

   • Для умножения дробей перемножают числители и знаменатели. $$ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} $$

4. Деление дробей:

   • Для деления дробей умножают первую дробь на обратную ко второй дроби. $$ \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} $$

5. Приведение дроби к смешанному числу:

   • Если числитель больше знаменателя, дробь можно записать в виде смешанного числа — выделить целую часть и дробную часть. $$ \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} $$

6. Приведение смешанного числа к неправильной дроби:

   • Умножают целую часть на знаменатель и прибавляют числитель. $$ 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} $$

Решение задач о периметре:

а) Для задачи с треугольником:
1. Известен периметр треугольника $P = 24\frac{3}{4}$ см.
2. Также известны длины двух сторон:
− Первая сторона $a = 7\frac{1}{4}$ см.
− Вторая сторона $b$ больше первой на $3\frac{3}{4}$ см, то есть $b = a + 3\frac{3}{4}$.
3. Чтобы найти третью сторону $c$, нужно из периметра $P$ вычесть сумму первых двух сторон:
$$ c = P - (a + b) $$

б) Для задачи с четырёхугольником:
1. Периметр четырёхугольника — это сумма длин всех его сторон:
$$ P = a + b + c + d $$
где $a, b, c, d$ — длины сторон.

1. Известно:

   • Первая сторона $a = 8\frac{2}{5}$ см.
   • Вторая сторона $b$ больше первой на $3\frac{4}{5}$ см, то есть $b = a + 3\frac{4}{5}$.
   • Третья сторона $c$ меньше суммы первых двух сторон на $6\frac{4}{5}$ см, то есть: $$ c = (a + b) - 6\frac{4}{5} $$
   • Четвёртая сторона $d$ больше третьей стороны на $1\frac{1}{5}$ см, то есть: $$ d = c + 1\frac{1}{5} $$

2. Найти периметр нужно, сложив все стороны:
   $$ P = a + b + c + d $$

Подсказки для вычислений:
1. Работайте с дробями, приводя их к общему знаменателю.
2. Если числа представлены как смешанные, можно сначала перевести их в неправильные дроби для удобства вычислений.
3. После выполнения всех операций результат можно записать как смешанное число, если требуется.