а) Назови на каждом чертеже вписанный и центральный углы. На какую дугу они опираются? Обведи ее цветным карандашом.

б) Измерь центральной и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, установи взаимосвязь между ними. Можно ли считать полученный вывод верным для всех вписанных и центральных углов, опирающихся на одну и ту же дугу? Почему?

Для решения задачи требуется понимание нескольких важных геометрических понятий, связанных с окружностью, углами и их свойствами. Вот подробная теоретическая часть, которая поможет разобраться и выполнить шаги, необходимые для решения задачи.

Понятие окружности:
− Окружность — это геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, равноудаленных от одной фиксированной точки, называемой центром окружности.
− Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней.
− Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки окружности через ее центр и вдвое больший радиуса.

Понятие углов в окружности:
1. Центральный угол:
− Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а его стороны проходят через две точки окружности.
− Центральный угол всегда опирается на дугу окружности, то есть на часть окружности, ограниченную точками пересечения сторон угла с окружностью.

1. Вписанный угол:
   • Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность в двух других точках.
   • Вписанный угол также опирается на дугу окружности, ограниченную точками пересечения его сторон с окружностью.

Связь между центральным и вписанным углами:
− Если вписанный угол и центральный угол опираются на одну и ту же дугу окружности, то:
− Центральный угол всегда в два раза больше вписанного угла:
$$ \text{Центральный угол} = 2 \cdot \text{Вписанный угол}. $$
− Это утверждение является основным свойством углов в окружности и верно для всех углов, опирающихся на одну дугу.

Как измерить углы и проверить взаимосвязь:
1. Найти вписанный угол.
− Угол, вершина которого находится на окружности.
− Определить дугу окружности, на которую он опирается.

1. Найти центральный угол.

   • Угол, вершина которого находится в центре окружности.
   • Убедиться, что стороны этого угла проходят через те же точки, что и стороны вписанного угла.

2. Измерить значения углов (например, с помощью транспортира или другого инструмента).

3. Сравнить измеренные значения углов.

   • Проверить, что центральный угол действительно в два раза больше вписанного угла.

Почему это утверждение верно для всех углов?
− Свойство углов, опирающихся на одну дугу, основано на свойствах окружности:
− Центральный угол измеряет весь угол между двумя радиусами, проведенными к концам дуги.
− Вписанный угол — это угол между двумя хордами, опирающимися на ту же дугу. Его величина зависит от расположения вершины угла на окружности, но всегда будет равна половине центрального угла.

Дополнительно:
Важно понимать, что если дуга окружности охватывает половину окружности (180°), то вписанный угол, опирающийся на эту дугу, будет равен 90° (так как половина 180° — это 90°). Эти свойства помогают решать задачи, связанные с окружностью, вписанными и центральными углами.