Реши уравнения:
а) $(4\frac{1}{9} - a) + 8\frac{5}{9} = 9\frac{2}{9}$;
б) $5\frac{3}{7} - (b - 2\frac{1}{7}) = 2\frac{4}{7}$;
в) 500 − 400 : (x + 43) = 495;
г) (270 : y − 12) * 70 = 1260.

Для решения данных уравнений необходимо применять базовые принципы алгебры и арифметики, которые изучаются в начальной школе. Приведем подробную теоретическую часть, чтобы понять процесс решения задач.

1. Работа с дробями

Дроби бывают правильные (числитель меньше знаменателя) и неправильные (числитель больше знаменателя). Неправильные дроби часто представляют в виде смешанных чисел, которые состоят из целой части и дробной части (например, $4\frac{1}{9}$).

Основные действия с дробями:
− Сложение и вычитание дробей: Чтобы сложить или вычесть дроби, они должны иметь общий знаменатель. Если знаменатели разные, сначала нужно привести их к общему знаменателю.
− Сложение и вычитание смешанных чисел: Выполняются отдельно для целой и дробной частей. Иногда нужно преобразовывать смешанное число в неправильную дробь для удобства.
− Умножение и деление дробей: При умножении перемножаются числители и знаменатели. При делении дробей используется правило переворачивания второй дроби и умножения.

Преобразование смешанных чисел:
Смешанное число $4\frac{1}{9}$ можно записать как неправильную дробь:
$$ 4\frac{1}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{37}{9}. $$

Преобразование неправильной дроби в смешанное число:
Если у вас есть дробь $\frac{37}{9}$, то выполняется деление числителя на знаменатель, чтобы найти целую часть. Остаток записывается как дробная часть.

2. Решение уравнений

Уравнение — это математическое равенство, в котором есть неизвестное число (переменная). Основная цель — найти значение этой переменной.

Основные шаги:

• Изолировать переменную на одной стороне уравнения.
• Выполнить арифметические операции для упрощения уравнения.
• Проверить решение, подставляя найденное значение переменной обратно в уравнение.

Пример:

Если уравнение имеет вид $x + 3 = 7$, чтобы найти $x$, нужно убрать $+3$ с левой стороны уравнения, вычитая $3$ с обеих сторон:
$$ x + 3 - 3 = 7 - 3 \implies x = 4 $$

Если уравнение включает дроби, смешанные числа или много действий, нужно выполнять их по порядку, соблюдая правила арифметики.

3. Уравнения с целыми числами

Когда уравнение задано с целыми числами, используются те же принципы:
− Если уравнение включает деление или умножение, сначала выполняются эти операции.
− Если в уравнении есть скобки, сначала вычисляются выражения внутри скобок.

Пример:

Для уравнения $500 - 400 : (x + 43) = 495$, при решении важно помнить порядок операций:
1. Сначала вычисляется выражение в скобках.
2. Затем выполняется деление.
3. После этого — вычитание.

4. Уравнения с дробями и скобками

Скобки в уравнениях указывают на то, что выражение внутри скобок должно быть рассчитано в первую очередь. Например, в уравнении $5\frac{3}{7} - (b - 2\frac{1}{7}) = 2\frac{4}{7}$:
1. Выражение $b - 2\frac{1}{7}$ внутри скобок решается сначала.
2. Затем выполняется вычитание между смешанными числами.

Приведение смешанных чисел к одному виду:

Для удобства работы можно перевести смешанное число в неправильную дробь.

5. Работа с многошаговыми уравнениями

Если уравнение имеет несколько действий (например, деление, сложение, умножение), нужно соблюдать порядок операций:
1. Скобки.
2. Деление и умножение (слева направо).
3. Сложение и вычитание (слева направо).

Пример:

Для уравнения $(270 : y - 12) \cdot 70 = 1260$:
1. Выражение внутри скобок ($270 : y - 12$) рассчитывается сначала.
2. Затем результат умножается на $70$.

6. Проверка решения

После нахождения значения переменной всегда полезно подставить это значение обратно в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что равенство верно.

Запомнив эти основные правила, можно успешно решать уравнения и проверять свои результаты.