Построй окружность с центром O и радиусом 4 см. Начерти центральный угол ∠AOB = 150°. Есть ли еще центральные углы на этом рисунке? Можно ли найти их величину, не выполняя измерений?

Для решения этой задачи важно понимать некоторые ключевые понятия, связанные с окружностью, центральными углами и свойствами геометрических фигур. В этой теоретической части подробно объясним все, что нужно для решения задачи.

Окружность

Окружность — это множество точек на плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от одной фиксированной точки, называемой центром окружности. Расстояние от центра до любой точки на окружности называется радиусом.

В данной задаче:

• Центр окружности — точка $ O $.
• Радиус окружности — $ 4 \, \text{см} $.

Окружность можно построить с помощью циркуля: установив его на длину, равную радиусу (4 см), и разместив иглу циркуля в точке $ O $.

Центральный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны угла пересекают окружность. Такой угол ограничивает на окружности дугу, которая называется соответствующей дугой центрального угла.

В задаче:

• Центральный угол $ \angle AOB $ имеет величину $ 150^\circ $.
• Вершина угла находится в точке $ O $.
• Стороны угла проходят через точки $ A $ и $ B $, лежащие на окружности.

Свойства окружности и центральных углов

1. Сумма всех центральных углов в окружности:
   На окружности центральные углы могут быть расположены так, чтобы они покрывали всю окружность. Сумма всех таких углов всегда равна $ 360^\circ $, поскольку это полный круг.

2. Дополнительные центральные углы:
   Если один центральный угол задан, можно вычислить угол, дополняющий его до $ 360^\circ $. Такой угол называется дополнительным центральным углом. Например, если известен угол $ \angle AOB = 150^\circ $, то дополнительный центральный угол будет:
   $$ \text{Дополнительный угол} = 360^\circ - 150^\circ = 210^\circ. $$

3. Взаимное расположение углов:
   Центральные углы, имеющие общую вершину в центре окружности, могут быть расположены как смежные (вместе образующие $ 360^\circ $), так и независимые.

4. Измерения на окружности:
   Если радиус окружности известен, а также известен один центральный угол, то дополнительные центральные углы можно найти теоретически, без выполнения реальных измерений на рисунке. Для этого используются свойства окружности и величины углов.

Способы нахождения других углов

Чтобы определить, есть ли на рисунке другие центральные углы, нужно учитывать, как именно построены точки $ A $, $ B $, и что представляет собой угол $ \angle AOB $:
− Если заданы только точки $ A $ и $ B $ на окружности, то строится одна дуга между ними. Но также можно рассмотреть противоположную дугу, которая определяется оставшейся частью окружности. Эта противоположная дуга будет ограничена дополнительным центральным углом, величину которого можно вычислить, как $ 360^\circ $ минус заданный угол.

Углы на окружности без измерений

Для нахождения углов без измерений достаточно знать свойства окружности и сумму углов в $ 360^\circ $:
− Если на окружности задан один угол, найти его дополнительный угол можно с помощью вычитания.
− Если на окружности построена дуга, можно воспользоваться тем, что она разделяет круг на две части: меньшую и большую дуги, соответствующие углам $ x $ и $ 360^\circ - x $.

Эти теоретические сведения помогут решить задачу корректно и объяснить все действия.