а) Вписанные углы $A_1, A_2$ и $A_3$ опираются на дугу BC (рис.1). Измерь их величину.
б) Измерь вписанный угол $E_1$ (рис.2). На какую дугу он опирается? Построй и измерь вписанные углы, опирающиеся на ту же дугу. Что ты замечаешь?
в) Проверь свою гипотезу для углов, опирающихся на дугу MN (рис.3). Можно ли утверждать, что наблюдаемая закономерность выполняется для всех вписанных углов?

Теоретическая часть для решения задачи:

Вписанный угол

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а обе его стороны пересекают эту окружность. Такой угол опирается на дугу, которая находится между точками пересечения угла с окружностью.

Свойство вписанного угла:

Вписанный угол, опирающийся на одну и ту же дугу, имеет одинаковую величину. Это важно для анализа углов на рисунках.

Формула связи вписанного угла с центральным углом:

Если центральный угол и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то величина вписанного угла равна половине величины центрального угла:
$$ \alpha_{\text{вписанный}} = \frac{\alpha_{\text{центральный}}}{2}. $$

Порядок выполнения задачи:

Шаг 1: Определение дуги, на которую опирается вписанный угол.

Для каждого угла, указанного в задаче, нужно определить дугу, на которую он опирается. Это делается по точкам пересечения сторон угла с окружностью.

Шаг 2: Измерение величины угла.

Используя транспортир, измеряем величину угла непосредственно на рисунке.

Шаг 3: Построение дополнительных вписанных углов.

Нужно построить другие углы, опирающиеся на ту же дугу, и измерить их. Это позволит проверить, что их величина одинакова.

Шаг 4: Анализ и проверка гипотезы.

Сравниваем углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, чтобы проверить, выполняется ли их равенство. Затем проверяем, действует ли это свойство для всех вписанных углов.

Применение свойств углов к конкретным случаям:

Задача (а):

Углы $A_1$, $A_2$ и $A_3$ опираются на дугу $BC$. Необходимо измерить их величины и убедиться, что они равны. Согласно свойству вписанных углов, все эти углы должны быть одинаковыми, так как они опираются на одну и ту же дугу.

Задача (б):

Угол $E_1$ опирается на определённую дугу (её нужно определить, анализируя рисунок 2). После измерения угла $E_1$ требуется построить другие углы, опирающиеся на ту же дугу, и измерить их. Если все углы, опирающиеся на эту дугу, равны, то это подтверждает свойство вписанных углов.

Задача (в):

На рисунке 3 нужно рассмотреть дугу $MN$ и измерить вписанные углы, опирающиеся на неё. После проверки равенства углов делается вывод о том, выполняется ли свойство для всех вписанных углов, независимо от их положения на окружности.

Заключение:

Свойство вписанных углов является ключевым для решения задачи. Оно позволяет утверждать, что углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны между собой.