а) Проведи диагональ AC четырехугольника ABCD. Сколько получилось треугольников?
б) Проведи диагонали AC и AD пятиугольника ABCDE. На сколько треугольников он разбился?
в) Попробуй связать между собой результаты исследований в №1−4. Закончи предложения:
Если сумма углов треугольника равна ..., то сумма углов четырехугольника равна ... .
Если сумму углов треугольника равна ..., то сумма углов пятиугольника равна .... .

Для решения данной задачи важно понимать теоретические основы, связанные с многоугольниками и их свойствами:

Многоугольник — это геометрическая фигура, состоящая из нескольких соединённых друг с другом отрезков, образующих замкнутую линию. Отрезки называются сторонами многоугольника, точки их пересечения — вершинами.

Диагональ — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.

1. Многоугольники и их деление на треугольники с помощью диагоналей Если в многоугольнике провести одну или несколько диагоналей, он может быть разбит на несколько треугольников. Количество треугольников, на которые разбивается многоугольник, зависит от числа его сторон.

Для многоугольника с $ n $ сторонами:
− Количество треугольников при разбиении диагоналями равно $ n - 2 $, где $ n $ — число сторон многоугольника.
− Это объясняется тем, что каждый раз, когда проводятся диагонали, фигура делится на треугольники, которые имеют общие вершины.

1. Сумма углов многоугольника Сумма внутренних углов любого многоугольника также зависит от количества его сторон. Формула для нахождения суммы углов многоугольника с $ n $ сторонами: $$ S = 180^\circ \cdot (n - 2), $$ где $ n $ — число сторон.

• Для треугольника (3 стороны): $ S = 180^\circ \cdot (3 - 2) = 180^\circ $.
• Для четырёхугольника (4 стороны): $ S = 180^\circ \cdot (4 - 2) = 360^\circ $.
• Для пятиугольника (5 сторон): $ S = 180^\circ \cdot (5 - 2) = 540^\circ $.

1. Разбиение четырёхугольника на треугольники Если провести диагональ в четырёхугольнике, то он разделится на два треугольника. Это происходит, потому что диагональ соединяет две противоположные вершины, разбивая многоугольник на две замкнутые фигуры — треугольники.

1. Разбиение пятиугольника на треугольники Если провести две диагонали в пятиугольнике, он может быть разбит на три треугольника. Диагонали соединяют вершины так, чтобы каждая часть многоугольника стала треугольником.

1. Связь между суммой углов треугольника, четырёхугольника и пятиугольника
   • Сумма углов треугольника всегда равна $ 180^\circ $.
   • Сумма углов четырёхугольника равна $ 360^\circ $, что в два раза больше суммы углов треугольника.
   • Сумма углов пятиугольника равна $ 540^\circ $, что в три раза больше суммы углов треугольника.

Эта закономерность объясняется тем, что каждый многоугольник можно разбить на треугольники, а сумма углов многоугольника — это сумма углов всех треугольников, полученных при разбиении.

Используя эти теоретические знания, можно приступать к решению задачи.