К числу 9 справа и слева припиши одну и ту же такую цифру, чтобы полученное трехзначное число делилось на 7 без остатка.

Для решения задачи важно понять свойства чисел и делимость на число 7. Рассмотрим теоретическую часть, которая поможет разобраться с решением:

1. Понятие делимости

   • Число делится на 7 без остатка, если при делении на 7 результат является целым числом, а остаток равен нулю.
   • Пример: число 14 делится на 7, потому что $ 14 \div 7 = 2 $ и остаток равен 0.

2. Формирование числа

   • Для данной задачи, к числу 9 нужно слева и справа приписать одну и ту же цифру $ x $. Это формирует трехзначное число вида $ x9x $, где $ x $ — цифра от 0 до 9.
   • Запишем трехзначное число в развернутом виде: $$ x9x = 100 \cdot x + 10 \cdot 9 + x = 100x + 90 + x = 101x + 90. $$

3. Условие делимости на 7

   • Согласно условию задачи, трехзначное число $ x9x $ должно делиться на 7 без остатка. Это означает, что выражение $ 101x + 90 $ должно быть кратно 7: $$ 101x + 90 \, \text{делится на 7}. $$

4. Проверка каждого значения цифры $ x $

   • Поскольку $ x $ — цифра, она принимает значения от 0 до 9. Для каждого значения $ x $, подставляем его в формулу $ 101x + 90 $ и проверяем, делится ли результат на 7. Это можно сделать путем деления результата на 7 и проверки, равен ли остаток 0.

5. Метод вычисления остатка

   • Для любого числа $ a $, при делении на $ b $, остаток можно найти по формуле: $$ \text{Остаток} = a - b \cdot \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor, $$ где $ \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor $ — это целая часть от деления $ a $ на $ b $.
   • Если остаток равен 0, значит число кратно $ b $.

6. Алгоритм решения задачи

   • Для каждого значения $ x $ от 0 до 9:
   • Подставляем $ x $ в выражение $ 101x + 90 $.
   • Проверяем, делится ли результат на 7 (остаток от деления равен 0).
   • Если условие выполняется, это значение $ x $ подходит для задачи.

7. Практическое применение свойства делимости

   • Делимость на 7 можно проверить по шагам:
   • Взять число $ a $, например $ 101x + 90 $.
   • Последовательно делить значение на 7 и смотреть остаток.
   • Если остаток равен 0, то число $ a $ делится на 7.

Этот теоретический подход позволяет систематически проверить каждую цифру $ x $ и найти решение задачи.