Какими могут быть длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 26 см, а площадь 40 $см^2$?

Чтобы решить задачу, нужно применить знания о периметре и площади прямоугольника. Рассмотрим каждый аспект:

1. Формула периметра прямоугольника
   Периметр прямоугольника (P) определяется как сумма длин всех его сторон. Если обозначить длину прямоугольника за $a$ и ширину за $b$, то периметр равен:
   $$ P = 2(a + b) $$
   В задаче сказано, что периметр равен 26 см. Подставим это значение в формулу:
   $$ 2(a + b) = 26 $$
   Если обе стороны упростить, то получим:
   $$ a + b = 13 $$
   Это уравнение связывает длину и ширину прямоугольника.

2. Формула площади прямоугольника
   Площадь прямоугольника (S) определяется как произведение его длины и ширины:
   $$ S = a \cdot b $$
   В задаче сказано, что площадь равна 40 $см^2$. Подставим это значение в формулу:
   $$ a \cdot b = 40 $$
   Это уравнение является вторым условием, связывающим длину и ширину прямоугольника.

3. Система уравнений
   Теперь у нас есть два уравнения:
   $$ a + b = 13 $$
   $$ a \cdot b = 40 $$
   Чтобы найти длины сторон прямоугольника, нужно решить эту систему уравнений. Для таких задач удобно использовать методы подстановки или введение квадратного уравнения.

4. Выражение одной переменной через другую
   Из первого уравнения можно выразить $b$ через $a$:
   $$ b = 13 - a $$
   Подставим это выражение $b = 13 - a$ во второе уравнение:
   $$ a \cdot b = 40 $$
   $$ a \cdot (13 - a) = 40 $$
   Раскроем скобки:
   $$ 13a - a^2 = 40 $$
   Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   $$ a^2 - 13a + 40 = 0 $$

5. Решение квадратного уравнения
   Квадратное уравнение $a^2 - 13a + 40 = 0$ можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения:
   $$ a = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} $$
   Здесь:

6. $A = 1$ — коэффициент при $a^2$,

7. $B = -13$ — коэффициент при $a$,

8. $C = 40$ — свободный член.

9. Ограничения задачи
   После нахождения корней квадратного уравнения нужно проверить, подходят ли найденные значения для сторон прямоугольника. Длины сторон прямоугольника ($a$ и $b$) должны быть положительными числами, так как отрицательная длина невозможна.

10. Проверка решения
    После нахождения значений $a$ и $b$, их стоит проверить, чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим условиям задачи:

11. $a + b = 13$,

12. $a \cdot b = 40$.

Таким образом, используя свойства периметра, площади и методы решения квадратных уравнений, можно определить длины сторон прямоугольника.