Объясни, почему верны равенства.
1)
170 * 3 + 170 = 170 * 4;
560 * 9 − 560 = 560 * 8;
96 * 4 + 96 * 6 = 96 * 10;
45 * 3 + 450 = 450 + 3 * 45.
2)
(81 + 27) : 9 = 81 : 9 + 27 : 9;
(540 − 180) : 6 = 540 : 6 − 180 : 6.

Для полного понимания приведенных равенств важно рассмотреть основные свойства арифметики, такие как распределительный закон (дистрибутивность), ассоциативный закон и другие свойства операций сложения, вычитания, умножения и деления.

Первая группа равенств

1. $ 170 \cdot 3 + 170 = 170 \cdot 4 $

Данное равенство опирается на распределительный закон умножения. Распределительный закон гласит: если $ a, b, c $ — числа, то:
$$ a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c). $$
В этом выражении:
− $ 170 \cdot 3 $ — это $ 170 $, умноженное на $ 3 $;
− $ 170 $ можно представить как $ 170 \cdot 1 $.

Теперь объединяем:
$$ 170 \cdot 3 + 170 = 170 \cdot 3 + 170 \cdot 1 = 170 \cdot (3 + 1) = 170 \cdot 4. $$

2. $ 560 \cdot 9 - 560 = 560 \cdot 8 $

Этот пример также связан с распределительным законом. Здесь вместо сложения используется вычитание. Распределительный закон для вычитания выглядит так:
$$ a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c). $$
В данном случае:
− $ 560 \cdot 9 $ — это $ 560 $, умноженное на $ 9 $;
− $ 560 $ — это $ 560 \cdot 1 $.

Применяем распределительный закон:
$$ 560 \cdot 9 - 560 = 560 \cdot 9 - 560 \cdot 1 = 560 \cdot (9 - 1) = 560 \cdot 8. $$

3. $ 96 \cdot 4 + 96 \cdot 6 = 96 \cdot 10 $

Это выражение демонстрирует стандартное применение распределительного закона для сложения:
$$ a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c). $$
В данном случае:
− $ 96 \cdot 4 $ — это $ 96 $, умноженное на $ 4 $;
− $ 96 \cdot 6 $ — это $ 96 $, умноженное на $ 6 $.

Применяем закон:
$$ 96 \cdot 4 + 96 \cdot 6 = 96 \cdot (4 + 6) = 96 \cdot 10. $$

4. $ 45 \cdot 3 + 450 = 450 + 3 \cdot 45 $

Для этого равенства нужно понять, что сложение чисел выполняется независимо от порядка (переместительный закон сложения):
$$ a + b = b + a. $$
Кроме того, умножение $ 45 \cdot 3 $ и $ 3 \cdot 45 $ дает одинаковый результат (переместительный закон умножения):
$$ a \cdot b = b \cdot a. $$

В данном случае:
− $ 45 \cdot 3 $ и $ 3 \cdot 45 $ взаимозаменяемы;
− $ 450 $ можно просто "переставить" в сумме, так как порядок сложения не влияет на результат.

Итоговое выражение:
$$ 45 \cdot 3 + 450 = 450 + 3 \cdot 45. $$

Вторая группа равенств

1. $ (81 + 27) \div 9 = 81 \div 9 + 27 \div 9 $

Здесь используется распределительный закон деления, который утверждает, что если сумма делится на число, то можно разделить каждый компонент суммы на это число:
$$ (a + b) \div c = a \div c + b \div c. $$
В данном случае:
− $ 81 \div 9 $ — это результат деления $ 81 $ на $ 9 $;
− $ 27 \div 9 $ — это результат деления $ 27 $ на $ 9 $.

Применяем закон:
$$ (81 + 27) \div 9 = 81 \div 9 + 27 \div 9. $$

2. $ (540 - 180) \div 6 = 540 \div 6 - 180 \div 6 $

Аналогично предыдущему примеру, здесь используется распределительный закон деления, но теперь для вычитания:
$$ (a - b) \div c = a \div c - b \div c. $$
В данном случае:
− $ 540 \div 6 $ — это результат деления $ 540 $ на $ 6 $;
− $ 180 \div 6 $ — это результат деления $ 180 $ на $ 6 $.

Применяем закон:
$$ (540 - 180) \div 6 = 540 \div 6 - 180 \div 6. $$

Итог

Все равенства в задаче основаны на свойствах арифметических операций — распределительном, переместительном и ассоциативном законах. Эти законы помогают упростить выражения, группировать их удобным образом и преобразовывать в эквивалентные формы при сохранении точности вычислений.