Из двух сел одновременно навстречу друг другу вышли два товарища − Миша и Коля. Миша шел со скоростью 3 км/ч, а Коля − 5 км/ч. Одновременно с Мишей к Коле побежала собака. Она бежала со скоростью 8 км/ч. Добежав до Коли, она повернула назад, к Мише, и так и бегала между ребятами, пока они не встретились. Сколько километров пробежала собака, если расстояние между селами 16 км?

Чтобы решить эту задачу, нужно объединить знания по математике из нескольких тем, включая движение, относительную скорость и понятие времени. Разберем теоретическую часть задачи подробно.

Основные понятия

1. Скорость: Скорость показывает, какое расстояние движущийся объект проходит за единицу времени. Обычно скорость обозначается буквой $v$ и измеряется, например, в километрах в час (км/ч).

2. Время: Время — это величина, которая показывает, сколько длится движение. Обозначается буквой $t$ и измеряется в часах (ч).

3. Расстояние: Расстояние — это путь, который проходит объект. Обозначается буквой $s$ и измеряется в километрах (км).

4. Связь между величинами: Скорость, время и расстояние связаны между собой формулой:
   $$ s = v \cdot t $$
   где $s$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.

5. Относительная скорость: Если два объекта движутся навстречу друг другу, их скорости складываются, чтобы определить, с какой скоростью сокращается расстояние между ними:
   $$ v_{\text{общая}} = v_1 + v_2 $$

Анализ задачи

Движение Миши и Коли

• Миша идет со скоростью $v_1 = 3$ км/ч.
• Коля идет со скоростью $v_2 = 5$ км/ч.
• Они движутся навстречу друг другу, поэтому их относительная скорость равна: $$ v_{\text{общая}} = v_1 + v_2 = 3 + 5 = 8 \, \text{км/ч}. $$
• Расстояние между селами составляет $16$ км. Чтобы узнать, через какое время они встретятся, нужно разделить расстояние $s = 16$ км на их общую скорость $v_{\text{общая}} = 8$ км/ч: $$ t = \frac{s}{v_{\text{общая}}}. $$ $t$ — это время до встречи двух друзей.

Движение собаки

• Собака бежит со скоростью $v_{\text{собака}} = 8$ км/ч.
• Она начинает движение одновременно с Мишей.
• Собака движется туда−обратно между Мишей и Колей, пока они не встретятся.

Ключевая идея

Основная задача состоит в том, чтобы найти расстояние, которое пробежала собака за всё время. Для этого важно понять:

1. Время, пока собака бегала: Собака бегает ровно столько же времени, сколько Миша и Коля идут навстречу друг другу, то есть $t$.

2. Расстояние, пробежанное собакой: Собака всё время бежит с постоянной скоростью $v_{\text{собака}} = 8$ км/ч. Чтобы найти пробег собаки, нужно умножить её скорость на время движения:
   $$ s_{\text{собака}} = v_{\text{собака}} \cdot t. $$

Итоговая формула

Чтобы найти расстояние, которое пробежала собака, нужно:
1. Найти время встречи $t = \frac{s}{v_{\text{общая}}}$, где $s = 16$ км — расстояние между селами, а $v_{\text{общая}} = 8$ км/ч — общая скорость Миши и Коли.
2. Использовать это время для нахождения расстояния собаки: $s_{\text{собака}} = v_{\text{собака}} \cdot t$, где $v_{\text{собака}} = 8$ км/ч — скорость собаки.

Теперь у нас есть вся необходимая теоретическая база для решения задачи.