Вычисли и объясни, почему значения выражений, записанных в каждом столбике, равны.
1728 : 54 + 4482 : 54;
(1728 + 4482) : 54.
 
702 * 69 + 702 * 18;
702 * (69 + 18).

Давайте разберем эту задачу с точки зрения математической теории, чтобы понять, почему значения выражений в каждом из столбиков равны. Это связано с основными свойствами арифметических операций, такими как распределительное свойство умножения, деления и их связь с сложением и вычитанием.

Первый столбик
Выражения:
1. $ \frac{1728}{54} + \frac{4482}{54} $
2. $ \frac{1728 + 4482}{54} $

Почему значения равны?

Здесь используется распределительное свойство деления относительно сложения. Это свойство можно записать так:

$$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, $$

где $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа, причём $c \neq 0$.

То есть, если два числа делятся на одно и то же число, мы можем сложить их числители (верхнюю часть дроби) и разделить результат на общий знаменатель.

Применим это свойство к нашему выражению:

1. В первом выражении мы сначала делим $1728$ на $54$, затем $4482$ на $54$, и только потом складываем результаты. Это работает согласно принципу арифметических действий: сначала выполняются деление, затем сложение.
2. Во втором выражении мы сначала складываем числа $1728 + 4482$, а затем делим результат на $54$.

Но благодаря распределительному свойству, оба подхода дают одинаковый результат. Это объясняет, почему выражения в первом столбике равны.

Второй столбик
Выражения:
1. $ 702 \cdot 69 + 702 \cdot 18 $
2. $ 702 \cdot (69 + 18) $

Почему значения равны?

Здесь используется распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство можно записать так:

$$ a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c), $$

где $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа.

В данном случае, число $702$ умножается на $69$, а также на $18$. Согласно распределительному свойству, вместо того чтобы сначала выполнять отдельные умножения и потом их складывать, мы можем сначала сложить числа $69 + 18$, а затем умножить сумму на $702$.

Применим это свойство к нашему выражению:

1. В первом выражении мы отдельно умножаем $702 \cdot 69$ и $702 \cdot 18$, а затем складываем результаты.
2. Во втором выражении мы сначала складываем $69 + 18$, а потом умножаем результат на $702$.

Благодаря распределительному свойству умножения, оба подхода дают одинаковый результат. Это объясняет, почему выражения во втором столбике равны.

Вывод и обобщение:

Обе пары выражений основаны на одном и том же принципе — распределительном свойстве арифметических операций. Это свойство позволяет упростить вычисления, группируя числа по определённым правилам.
1. В первом столбике используется распределительное свойство деления относительно сложения.
2. Во втором столбике используется распределительное свойство умножения относительно сложения.

Эти свойства помогают нам находить эквивалентные выражения и проверять равенства.