Библиотеке нужно переплести 4500 книг. Одна мастерская может переплести эти книги за 30 дней, а другая − за 45. За сколько дней могут выполнить заказ обе эти мастерские, работая одновременно?

Чтобы решить эту задачу, можно использовать подход, основанный на понятии производительности и совместной работы.

Теоретическая часть:

1. Понятие производительности:
   Производительность – это количество работы, которое выполняется за единицу времени. Например, мастерская переплетает книги, и её производительность выражается в количестве книг, которые она переплетает за один день.

2. Определение производительности одной мастерской:
   Если мастерская переплетает $ 4500 $ книг за $ 30 $ дней, то ее производительность равна:
   $$ \text{Производительность первой мастерской} = \frac{4500 \text{ книг}}{30 \text{ дней}} = 150 \text{ книг/день}. $$
   Аналогично для второй мастерской, которая переплетает $ 4500 $ книг за $ 45 $ дней:
   $$ \text{Производительность второй мастерской} = \frac{4500 \text{ книг}}{45 \text{ дней}} = 100 \text{ книг/день}. $$

3. Совместная производительность:
   Когда две мастерские работают одновременно, их производительность складывается. То есть:
   $$ \text{Совместная производительность} = \text{Производительность первой мастерской} + \text{Производительность второй мастерской}. $$
   При этом важно учитывать, что каждая мастерская работает с одинаковой интенсивностью, как если бы она работала самостоятельно.

4. Определение времени:
   Чтобы найти время, необходимое для выполнения всей работы совместно, нужно знать общий объем работы и совместную производительность. В данной задаче общий объем работы составляет $ 4500 $ книг, а совместная производительность – это сумма производительностей двух мастерских.

Формула для времени работы двух мастерских выглядит так:
$$ \text{Время работы} = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Совместная производительность}}. $$
Здесь:
− Объем работы – это $ 4500 $ книг.
− Совместная производительность находится путем сложения производительностей первой и второй мастерских.

1. Проверка результата:
   После вычисления времени работы важно проверить, соответствует ли найденное значение логике задачи. Если обе мастерские работают быстрее, чем каждая из них отдельно, то время, необходимое для переплета всех книг, должно быть меньше, чем $ 30 $ дней (время работы первой мастерской) и $ 45 $ дней (время работы второй мастерской). Это подтверждает правильность вычислений.

2. Практическое значение задачи:
   Задачи на совместную работу показывают, как объединение усилий ускоряет выполнение задачи. Такие задачи часто встречаются не только в математике, но и в реальной жизни, например, при планировании рабочих процессов, распределении задач между группами и оптимизации ресурсов.